n×n方格网中，最多可以选出多少个点，满足任意三点都不共线？
在n×n方格网中，最多可以选出多少个点，满足任意三点都不共线？有意思的问题最简单的n=3时，最多可选出6个。n=4就已经有点复杂了。 本帖最后由 .·.·. 于 2019-6-4 18:04 编辑
n=4是8个
你可以画一个圆
n=5就比较复杂了
感觉Key29会给出一个解答然后接上
“n=6就比较复杂了”
然后说不定mathe会给出一个解答然后接上
“n如果是复数的话就比较复杂了;P”
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忽然意识到这个题难到爆炸
问集合{$1,2,3,...,n^2$}究竟能选出多少个数字保证任意三个数不构成等差数列
我们的解不比上面这个答案少，而不比2n多
问题是2n这个上界显然而且应该有不小的改善空间，另一个……似乎仍然是Open的问题 n=5可以取到10：
n=6可以取到12：
n=7取14：
尽量让中间没有点出现，外面呈现一个环形，这样通过的概率比较大 本帖最后由 .·.·. 于 2019-6-5 00:14 编辑
……
程序写完了，炸得很可以
果然学统计的程序都不好
这是我搜索出来的一组解，有一定的对称性(0302代表在x=3,y=2的位置有一个点)
0000 0001 0100 0103 0203 0204 0301 0302 0402 0404
后面程序不知为何写着写着就放飞自我了（GCD写错……改过来就好了）
0002 0004 0103 0104 0200 0201 0302 0303 0401 0402
(0002,0302,0402共线)
N=5（对称意义下）的全部解（可能有重复，我没仔细筛）
res10:0000 0001 0100 0103 0203 0204 0301 0302 0402 0404 .
res10:0000 0001 0101 0103 0200 0204 0302 0304 0402 0403 .
res10:0000 0002 0100 0101 0203 0204 0301 0304 0402 0403 .
res10:0000 0002 0101 0104 0203 0204 0300 0301 0402 0403 .
res10:0000 0002 0102 0103 0200 0201 0301 0304 0403 0404 .
res10:0000 0002 0102 0104 0200 0201 0303 0304 0401 0403 .
res10:0000 0003 0101 0103 0200 0204 0302 0304 0401 0402 .
res10:0001 0002 0100 0102 0200 0204 0301 0303 0403 0404 .
res10:0001 0002 0100 0103 0200 0201 0303 0304 0402 0404 .
res10:0001 0002 0100 0104 0203 0204 0300 0301 0402 0403 .
res10:0001 0002 0102 0104 0200 0204 0300 0303 0401 0403 .
res10:0001 0002 0102 0104 0200 0204 0301 0303 0400 0403 .
res10:0001 0002 0103 0104 0200 0201 0300 0303 0402 0404 .
res10:0001 0002 0103 0104 0200 0201 0300 0304 0402 0403 .
res10:0001 0003 0100 0101 0203 0204 0300 0302 0402 0404 .
res10:0001 0003 0100 0103 0200 0204 0302 0304 0401 0402 .
res10:0001 0003 0101 0104 0200 0204 0300 0302 0402 0403 .
res10:0001 0003 0103 0104 0200 0201 0302 0304 0400 0402 .
res10:0001 0003 0103 0104 0200 0204 0300 0302 0401 0402 .
res10:0001 0004 0101 0103 0200 0204 0300 0302 0402 0403 .
res10:0002 0003 0100 0101 0203 0204 0300 0304 0401 0402 .
res10:0002 0003 0100 0101 0203 0204 0301 0304 0400 0402 .
res10:0002 0003 0100 0102 0200 0204 0301 0303 0401 0404 .
res10:0002 0003 0100 0102 0200 0204 0301 0304 0401 0403 .
res10:0002 0003 0100 0104 0200 0201 0303 0304 0401 0402 .
res10:0002 0003 0101 0104 0203 0204 0300 0301 0400 0402 .
res10:0002 0003 0102 0104 0200 0204 0301 0303 0400 0401 .
res10:0002 0003 0103 0104 0200 0201 0300 0304 0401 0402 .
res10:0002 0004 0100 0102 0203 0204 0300 0301 0401 0403 .
res10:0002 0004 0100 0102 0203 0204 0301 0303 0400 0401 .
res10:0002 0004 0100 0103 0200 0201 0303 0304 0401 0402 .
res10:0002 0004 0100 0104 0200 0202 0301 0303 0401 0403 .
res10:0002 0004 0101 0102 0203 0204 0300 0301 0400 0403 .
res10:0002 0004 0101 0102 0203 0204 0300 0303 0400 0401 .
res10:0002 0004 0103 0104 0200 0201 0300 0303 0401 0402 .
#define N 9
#define stop (N-(N/2))// maybe N-(N+1)/2 is more sutiable since it will produce less bad results.
#define N2 (N*N)
#define N8 (N<<8)
#define NN ((N<<8)|N)
#define UB (2*N+1) // UpperBound
#define at2(x,y) a
#define at(x) a
#define inRange(x)((N8>((unsigned short)(x)))&(N>(unsigned char)((x)&0xFF)))
//#define gt(x,y) (((x)>(y))&(char)((x)&0xFF-(y)&0xFF)>0)
//#define inRange(y) gt(y,0)>(NN,y)
extern int printf(const char*,...);
unsigned char a;
unsigned short loc;
int max=0;
int cur=0;
unsigned short divgcd(unsigned short x){
if(x<128){return 1;}
if(x&255){
switch(x){//1~10 only
//2xx
case 0x1F6:return 0xFB;
case 0x1F8:return 0xFC;
case 0x1FA:return 0xFD;
case 0x1FC:return 0xFE;
case 0x1FE:return 0xFF;
case 0x202:return 0x101;
case 0x204:return 0x102;
case 0x206:return 0x103;
case 0x208:return 0x104;
case 0x20A:return 0x105;
//3xx
case 0x2F7:return 0xFD;
case 0x2FA:return 0xFE;
case 0x2FD:return 0xFF;
case 0x303:return 0x101;
case 0x306:return 0x102;
case 0x309:return 0x103;
//4xx
case 0x3F6:return 0x1FB;
case 0x3F8:return 0xFF;
case 0x3FA:return 0x1FD;
case 0x3FC:return 0xFF;
case 0x3FE:return 0x1FF;
case 0x402:return 0x201;
case 0x404:return 0x101;
case 0x406:return 0x203;
case 0x408:return 0x102;
case 0x40A:return 0x205;
//5xx
case 0x4F6:return 0xFE;
case 0x4FB:return 0xFF;
case 0x505:return 0x101;
case 0x50A:return 0x102;
//6xx
case 0x5F6:return 0x2FB;
case 0x5F7:return 0x1FD;
case 0x5F8:return 0x2FC;
case 0x5FA:return 0xFF;
case 0x5FC:return 0x2FE;
case 0x5FD:return 0x1FF;
case 0x5FE:return 0x3FF;
case 0x602:return 0x301;
case 0x603:return 0x201;
case 0x604:return 0x302;
case 0x606:return 0x101;
case 0x608:return 0x304;
case 0x609:return 0x203;
case 0x60A:return 0x305;
//7xx
case 0x6F9:return 0xFF;
case 0x707:return 0x101;
//8xx
case 0x7F6:return 0x3FB;
case 0x7F8:return 0xFF;
case 0x7FA:return 0x3FD;
case 0x7FC:return 0x1FF;
case 0x7FE:return 0x3FF;
case 0x802:return 0x401;
case 0x804:return 0x201;
case 0x806:return 0x403;
case 0x808:return 0x101;
case 0x80A:return 0x405;
//9xx
case 0x8F7:return 0xFF;
case 0x8FA:return 0x2FE;
case 0x8FD:return 0x2FF;
case 0x903:return 0x301;
case 0x906:return 0x302;
case 0x909:return 0x101;
//Axx
case 0x9F6:return 0xFF;
case 0x9FB:return 0x1FF;
case 0x9FE:return 0x4FF;
case 0xA02:return 0x501;
case 0xA05:return 0x201;
case 0xA0A:return 0x101;
default:return x;
}
}else{return 256;}
}
void add(unsigned short x){
//printf("\ncur%d+%04x:",cur,x);
at(x)+=1;
for(int i=0;i<cur;i++){
unsigned short tmp=divgcd(x-loc);//printf("\n %d::%04x-%04x=%04x:",i,x,loc,tmp);
for(short y=x+tmp;inRange(y);y+=tmp){/*printf("+%04x",y);*/at(y)+=1;}
}
loc=x;
cur++;
}
void remove(unsigned short x){
//printf("\ncur%d-%04x:",cur,x);
cur--;
//loc=0;
for(int i=0;i<cur;i++){
unsigned short tmp=divgcd(x-loc);//printf("\n %d::%04x-%04x=%04x:",i,x,loc,tmp);
for(short y=x+tmp;inRange(y);y+=tmp){/*printf("-%04x",y);*/at(y)-=1;}
}
at(x)-=1;
}
//#include<stdlib.h>
void find(unsigned short x){
//printf("\n:find%d.",cur);
//unsigned char aaa;
//for(int i=0;i<N2;i++)aaa=a;
add(x);
for(unsigned short y=x;y<N8;y++){
if((y&0xFF)==N){y&=0xFF00;y+=256;}// no need to break since it is a legal state.
if(!at(y)){find(y);}
}
if(max<cur){
max=cur;
printf("res%d:",cur);
for(int i=0;i<cur;i++)printf("%04x ",loc);
printf(".\n");
}
remove(x);
//for(int i=0;i<N2;i++)if(aaa!=a){exit(printf("!"));}
}
void main(){
for(int i=0;i<N2;i++)a=0;
a=1;//ignore N<<8 illegal.
//printf("%04x %04x %04x %04x %04x %04x\n",divgcd(0x6652),divgcd(0x0103),divgcd(0x0301),divgcd(0x0202),divgcd(0x0204),divgcd(0x0005));
for(int i=0;i<stop;i++){find(i);}
}//但愿GCD函数不再出错……
————————————————————
毕竟我们一贯以来都把BUG视为strong regularizer……
Note:N=6,7的GCD函数存在错误
N=6
res12:0000 0001 0101 0104 0204 0205 0300 0305 0402 0403 0502 0503 .
res12:0000 0001 0103 0104 0200 0202 0302 0305 0401 0405 0503 0504 .
res12:0000 0001 0103 0105 0201 0204 0300 0302 0404 0405 0502 0503 .
res12:0000 0001 0103 0105 0202 0204 0300 0302 0401 0405 0503 0504 .
res12:0000 0001 0104 0105 0200 0204 0302 0305 0401 0403 0502 0503 .
res12:0000 0002 0101 0104 0203 0205 0300 0301 0403 0405 0502 0504 .
res12:0000 0002 0101 0104 0204 0205 0300 0301 0403 0405 0502 0503 .
res12:0000 0002 0102 0104 0200 0201 0304 0305 0401 0403 0503 0505 .
res12:0000 0002 0103 0104 0201 0205 0300 0301 0404 0405 0502 0503 .
res12:0000 0002 0104 0105 0201 0204 0300 0301 0403 0405 0502 0503 .
res12:0000 0002 0104 0105 0201 0205 0300 0301 0403 0404 0502 0503 .
res12:0000 0003 0100 0102 0203 0205 0301 0305 0402 0404 0501 0504 .
res12:0000 0003 0100 0104 0202 0203 0301 0305 0402 0405 0501 0504 .
res12:0000 0003 0101 0105 0203 0205 0302 0304 0400 0402 0501 0504 .
res12:0000 0003 0102 0103 0200 0205 0301 0305 0401 0404 0502 0504 .
res12:0000 0003 0102 0103 0200 0205 0304 0305 0401 0402 0501 0504 .
res12:0000 0004 0102 0104 0201 0205 0301 0305 0400 0403 0502 0503 .
res12:0000 0004 0102 0105 0202 0205 0300 0301 0401 0403 0503 0504 .
res12:0000 0004 0103 0104 0200 0201 0302 0305 0401 0405 0502 0503 .
res12:0001 0002 0100 0104 0200 0202 0303 0305 0401 0405 0503 0504 .
res12:0001 0002 0100 0104 0200 0204 0302 0303 0401 0405 0503 0505 .
res12:0001 0002 0100 0104 0203 0205 0301 0303 0400 0402 0504 0505 .
res12:0001 0002 0102 0104 0200 0205 0300 0305 0401 0403 0503 0504 .
res12:0001 0002 0102 0105 0204 0205 0300 0301 0400 0403 0503 0504 .
res12:0001 0002 0104 0105 0200 0202 0303 0305 0400 0401 0503 0504 .
res12:0001 0002 0104 0105 0200 0204 0300 0302 0401 0403 0503 0505 .
res12:0001 0002 0104 0105 0201 0205 0300 0303 0402 0404 0500 0503 .
res12:0001 0002 0104 0105 0204 0205 0300 0301 0400 0403 0502 0503 .
res12:0001 0003 0100 0104 0201 0203 0300 0305 0402 0404 0502 0505 .
res12:0001 0003 0101 0104 0200 0204 0300 0305 0402 0403 0502 0505 .
res12:0001 0003 0101 0105 0203 0205 0300 0302 0400 0404 0502 0504 .
res12:0001 0003 0101 0105 0204 0205 0300 0302 0403 0404 0500 0502 .
res12:0001 0003 0102 0105 0200 0204 0301 0305 0400 0403 0502 0504 .
res12:0001 0003 0103 0104 0200 0201 0300 0305 0402 0404 0502 0505 .
res12:0001 0003 0103 0105 0200 0201 0304 0305 0400 0402 0502 0504 .
res12:0001 0003 0104 0105 0200 0203 0300 0305 0402 0404 0501 0502 .
res12:0001 0003 0104 0105 0201 0202 0303 0305 0400 0402 0500 0504 .
res12:0001 0004 0100 0101 0204 0205 0300 0305 0402 0403 0502 0503 .
res12:0001 0004 0100 0103 0200 0204 0302 0303 0401 0405 0502 0505 .
res12:0001 0004 0100 0105 0201 0205 0300 0303 0402 0404 0502 0503 .
res12:0001 0004 0101 0102 0204 0205 0300 0305 0400 0403 0502 0503 .
res12:0001 0004 0101 0102 0204 0205 0300 0305 0402 0403 0500 0503 .
res12:0001 0004 0101 0102 0204 0205 0303 0305 0400 0403 0500 0502 .
res12:0001 0004 0101 0103 0200 0204 0300 0302 0403 0405 0502 0505 .
res12:0001 0004 0102 0104 0201 0205 0303 0305 0400 0402 0500 0503 .
res12:0001 0004 0102 0105 0201 0205 0302 0303 0400 0404 0500 0503 .
res12:0001 0004 0102 0105 0204 0205 0300 0301 0400 0403 0502 0503 .
res12:0001 0004 0103 0104 0200 0201 0300 0305 0402 0403 0502 0505 .
res12:0001 0004 0103 0105 0200 0201 0303 0305 0402 0404 0500 0502 .
res12:0002 0003 0100 0101 0203 0205 0301 0304 0400 0402 0504 0505 .
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倒着搜似乎快一点
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res22:0005 0006 0100 0101 0200 0208 0305 030a 0403 0409 0503 0507 0601 0609 0707 0708 0802 0804 0902 090a 0a04 0a06 .这样就有了n=11的情况
n=11尝试证明的确是共线的
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=image&aid=9104&size=300x300&key=7d5285a8acc707c5&nocache=yes&type=fixnone
n=12不可用n=3(用n=2->n=8的方法)拼出的原因
n=8取16（n=7和n=8均由幸福_狐狸给出）：
lsr314 发表于 2019-6-4 23:35
n=8取16（n=7和n=8均由幸福_狐狸给出）：
这是我说的n=6可以推广到n=8的原因
也是我说n=k推得n=4k是否可行的原因
幸福_狐狸给出一个链接https://en.wikipedia.org/wiki/No-three-in-line_problem
里面提到n不超过46时，都是存在2n个点的解的。对于充分大的n，最佳结果小于2n，猜想大约为1.814n。
n=47的解并没有说不存在，大佬有兴趣可能试试。
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