论坛 › 难题征解 › 不定方程x^2+y^2+z^2=3^n的解数

lsr314 发表于 2019-8-19 19:24:51

方程$x^2+y^2+z^2=3^n$的解不计顺序及正负号可以分成5种（a,b,c代表不同的正整数）：
（1）(a,b,c),权重为8*6
（2）(a,b,b),权重为8*3
（3）(a,a,a),权重为8*1
（4）(a,b,0),权重为4*6
（5）(a,0,0),权重为2*3
假设各自不计正负号及顺序的解有$N_i$个,我们有:
$2N_5+4N_3+4N_2=2n+2$, $6N_5+24N_4+8N_3+24N_2+48N_1=r_3(3^n)$
当$n=2k$时，$N_5=1,N_4=0,N_3=0,N_2=k,N_1=(3^(k+1)-6k-3)/12.$
当$n=2k+1$时，$N_5=0,N_4=0,N_3=1,N_2=k,N_1=(3^(k+1)-6k-3)/12.$
我们要求的解数即是$N_3+N_2+N_1=k+(3^(k+1)-6k-3)/12$（n为偶数）或$1+k+(3^(k+1)-6k-3)/12$（n为奇数）

王守恩 发表于 2021-1-26 14:07:53

本帖最后由 王守恩 于 2021-1-26 19:51 编辑

\(T_{n}\)的前11项为：1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 14, 14, 41, 41....

\(\D T_{n}=\frac{1+3^{(\cos(n\pi)+2n-5)/4}}{2}\)

{2/3, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 14, 14, 41, 41, 122, 122, 365, 365, 1094,
1094, 3281, 3281, 9842, 9842, 29525, 29525, 88574}
一，不定方程 x^2+y^2+z^2=3^n 的解数
1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 22, 23, 63, 64, 185,
二，不定方程 x^2+y^2+z^2=6^n 的解数
1, 1, 3, 3, 8, 8, 22, 22, 63, 63, 185,
三，不定方程 x^2+y^2+z^2=9^n 的解数
1, 3, 8, 22, 63, 185, 550,
四，不定方程 x^2+y^2+z^2=12^n 的解数
1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 22,

补充内容 (2021-2-3 13:28):
参考 A185055

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