那怎么利用该公式求主题，可否赐教
很遗憾地告诉你，最短距离，并不代表相切！
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*定义椭圆方程*)
f=x^2/a^2+y^2/b^2-1
(*求解隐函数倒数,一阶倒数,两阶导数*)
fx1=D
fx2=D
(*解出导数表达式,并且用xy来表达*)
out1=Flatten@Solve]
out2=Flatten@Solve]/.out1
out=Flatten@Union
(*曲率的半径的平方的公式,完全用xy来表达*)
R2=((1+y'^2)^(3/2)/y'')^2/.out
R2=FullSimplify->y]
R2=R2/.b^2*x^2+a^2*y^2->a^2*b^2
a=3
b=2
Solve[{R2==(x-6/5)^2+y^2,f==0}/.y->y,{x,y},Reals]
N[%]
曲率半径的平方的公式是
\[\frac{\left(a^4 y^2+b^4 x^2\right)^3}{a^8 b^8}\]
利用这个公式与点到距离的公式，以及点在椭圆上，联立方程组，得到下面的求解结果，
\[\left\{\left\{x\to \text{Root}\left,y\to -\sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left,y\to \sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left,y\to -\sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left,y\to \sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left^2}\right\}\right\}\]
数值化得到
\[\{\{x\to -1.70816,y\to -1.64414\},\{x\to -1.70816,y\to 1.64414\},\{x\to 2.75429,y\to -0.792709\},\{x\to 2.75429,y\to 0.792709\}\}\]
这个结果与
NMinimize[{(x - 6/5)^2 + y^2, 4*x^2 + 9*y^2 == 36}, {x, y}]
并不一样
这个结果是
\[\{2.848,\{x\to 2.16012,y\to 1.38787\}\}\]
所以最终结果来了！
利用椭圆的曲率半径公式，并不能得到最小距离！ 笨笨 发表于 2019-8-18 20:26
那怎么利用该公式求主题，可否赐教
主题与曲率半径无必然关系，但和所求的椭圆上点的法线斜率有关。
最短距离时，椭圆上对应点(x,y)处的法线斜率k1计算公式为：
\[
k1=\frac{9y}{4x}
\]
经过点(x,y)和点(1.2,0)直线的斜率k2计算公式为：
\[
k2=\frac{y}{x-1.2}
\]
要使点(x,y)为最短距离点，只能在k1=k2中找，而满足k1=k2（解方程）只有以下4个：
\[
A1(\frac{54}{25},\frac{2\sqrt{301}}{25}) ;A2(\frac{54}{25},-\frac{2\sqrt{301}}{25});A3(3,0);A4(-3,0)
\]
其中A1；A2点为最短距离点，最短距离d为：
\[
d=\frac{2\sqrt{445}}{25}
\]
笨笨 发表于 2019-8-18 20:26
那怎么利用该公式求主题，可否赐教
如果仅知道椭圆上任一点（x,y)处的曲率半径R，是无法求出点 B(1.2,0) 与椭圆 4x^2+9y^2=36 之间的最短距离的。
页:
1
[2]