求点 B(1.2,0) 与椭圆 4x^2+9y^2=36 之间的最短距离

mathematica

笨笨 发表于 2019-8-18 20:26
那怎么利用该公式求主题，可否赐教

很遗憾地告诉你，最短距离，并不代表相切！

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义椭圆方程*)
   
3. f=x^2/a^2+y[x]^2/b^2-1
   
4. (*求解隐函数倒数,一阶倒数,两阶导数*)
   
5. fx1=D[f,x]
   
6. fx2=D[f,{x,2}]
   
7. (*解出导数表达式,并且用xy来表达*)
   
8. out1=Flatten@Solve[fx1==0,y'[x]]
   
9. out2=Flatten@Solve[fx2==0,y''[x]]/.out1
   
10. out=Flatten@Union[out1,out2]
    
11. (*曲率的半径的平方的公式,完全用xy来表达*)
    
12. R2=((1+y'[x]^2)^(3/2)/y''[x])^2/.out
    
13. R2=FullSimplify[R2/.y[x]->y]
    
14. R2=R2/.b^2*x^2+a^2*y^2->a^2*b^2
    
15. 
    
16. a=3
    
17. b=2
    
18. Solve[{R2==(x-6/5)^2+y^2,f==0}/.y[x]->y,{x,y},Reals]
    
19. N[%]
    

复制代码

曲率半径的平方的公式是
\[\frac{\left(a^4 y^2+b^4 x^2\right)^3}{a^8 b^8}\]

利用这个公式与点到距离的公式，以及点在椭圆上，联立方程组，得到下面的求解结果，

\[\left\{\left\{x\to \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,1\right],y\to -\sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,1\right]^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,1\right],y\to \sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,1\right]^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,2\right],y\to -\sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,2\right]^2}\right\},\left\{x\to \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,2\right],y\to \sqrt{4-\frac{4}{9} \text{Root}\left[3125 \text{$\#$1}^6-151875 \text{$\#$1}^4+2824875 \text{$\#$1}^2-1574640 \text{$\#$1}-9716841\&,2\right]^2}\right\}\right\}\]

数值化得到
\[\{\{x\to -1.70816,y\to -1.64414\},\{x\to -1.70816,y\to 1.64414\},\{x\to 2.75429,y\to -0.792709\},\{x\to 2.75429,y\to 0.792709\}\}\]

这个结果与

1. NMinimize[{(x - 6/5)^2 + y^2, 4*x^2 + 9*y^2 == 36}, {x, y}]

复制代码

并不一样
这个结果是
\[\{2.848,\{x\to 2.16012,y\to 1.38787\}\}\]

所以最终结果来了！
利用椭圆的曲率半径公式，并不能得到最小距离！

sheng_jianguo

笨笨 发表于 2019-8-18 20:26
那怎么利用该公式求主题，可否赐教

主题与曲率半径无必然关系，但和所求的椭圆上点的法线斜率有关。
最短距离时，椭圆上对应点(x,y)处的法线斜率k1计算公式为：
\[
k1=\frac{9y}{4x}
\]
经过点(x,y)和点(1.2,0)直线的斜率k2计算公式为：
\[
k2=\frac{y}{x-1.2}
\]
要使点(x,y)为最短距离点，只能在k1=k2中找，而满足k1=k2（解方程）只有以下4个：
\[
A1(\frac{54}{25},\frac{2\sqrt{301}}{25}) ;A2(\frac{54}{25},-\frac{2\sqrt{301}}{25});A3(3,0);A4(-3,0)
\]
其中A1；A2点为最短距离点，最短距离d为：
\[
d=\frac{2\sqrt{445}}{25}
\]

sheng_jianguo

笨笨 发表于 2019-8-18 20:26
那怎么利用该公式求主题，可否赐教

如果仅知道椭圆上任一点（x,y)处的曲率半径R，是无法求出点 B(1.2,0) 与椭圆 4x^2+9y^2=36 之间的最短距离的。