求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ，a>0且为常数
求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ，a>0且为常数\[\int_0^{2\pi}\frac{1}{(1+a\cos\theta)^2}\dif \theta\] 这个谁会 笨笨 发表于 2019-9-3 22:26
这个谁会
当然是mathematica辣
不定积分给出的结果是这玩意
\(\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-a} \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{a+1}}\right)}{\left(1-a^2\right)^{3/2}}+\frac{a \sin (\theta )}{\left(a^2-1\right) (a \cos (\theta )+1)}\)
FullSimplify[
D[(2 ArcTan[(Sqrt Tan[\/2])/Sqrt])/(1 - a^2)^(
3/2) - (a Sin[\])/((1 - a^2) (1 +
a Cos[\])), \]]
验证得到
\(\frac{1}{(a \cos (\theta )+1)^2}\)
理论上可以用万能公式计算 mathe 发表于 2019-9-4 17:47
理论上可以用万能公式计算
确实是用万能公式，但我不知道该怎么用，算了几天了，论坛高手可否分析一二， 本帖最后由 mathematica 于 2019-9-7 13:45 编辑
用无理常数来帮你解决问题！
假设a为eulergamma这个常数，这个常数不可能被加减乘除开方立方等消除，
所以就把他看成一个特殊的变量，用来积分
Integrate)^2, x]
然后得到
\[
\frac{\gamma\sin (x)}{\left(\gamma ^2-1\right) (\gamma\cos (x)+1)}-\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{(\gamma -1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\gamma ^2}}\right)}{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]
再带入积分区间，得到
\[
\frac{2 \pi }{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]
再用一个大于1的常量E带入
Integrate)^2, x]
得到
\[\frac{e \sin (x)}{\left(e^2-1\right) (e \cos (x)+1)}-\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{(e-1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{e^2-1}}\right)}{\left(e^2-1\right)^{3/2}}\]
带入积分区间，结果是0
如果a=1
直接积分得到
\[\frac{\sin (x) (\cos (x)+2)}{3 (\cos (x)+1)^2}\]
但是在积分区间上有一点等于零，好像不能积
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=15367&pid=75378&fromuid=865
这儿有这种思路的具体体现与应用，
用特殊的无理常量，来帮你解决复杂的问题，由变量到常量，再由常量到变量，就能解决你的问题
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