求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ，a>0且为常数

笨笨

求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ，a>0且为常数
\[\int_0^{2\pi}\frac{1}{(1+a\cos\theta)^2}\dif \theta\]

笨笨

这个谁会

.·.·.

笨笨 发表于 2019-9-3 22:26
这个谁会

当然是mathematica辣
不定积分给出的结果是这玩意
\(\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-a} \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{a+1}}\right)}{\left(1-a^2\right)^{3/2}}+\frac{a \sin (\theta )}{\left(a^2-1\right) (a \cos (\theta )+1)}\)

1. FullSimplify[
   
2. D[(2 ArcTan[(Sqrt[1 - a] Tan[\[Theta]/2])/Sqrt[1 + a]])/(1 - a^2)^(
   
3.    3/2) - (a Sin[\[Theta]])/((1 - a^2) (1 +
   
4.       a Cos[\[Theta]])), \[Theta]]]

复制代码

验证得到
\(\frac{1}{(a \cos (\theta )+1)^2}\)

mathe

理论上可以用万能公式计算

笨笨

mathe 发表于 2019-9-4 17:47
理论上可以用万能公式计算

确实是用万能公式，但我不知道该怎么用，算了几天了，论坛高手可否分析一二，

mathematica

用无理常数来帮你解决问题！
假设a为eulergamma这个常数，这个常数不可能被加减乘除开方立方等消除，
所以就把他看成一个特殊的变量，用来积分

1. Integrate[1/(1 + EulerGamma*Cos[x])^2, x]

复制代码

然后得到
\[
\frac{\gamma  \sin (x)}{\left(\gamma ^2-1\right) (\gamma  \cos (x)+1)}-\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{(\gamma -1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\gamma ^2}}\right)}{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]

再带入积分区间，得到
\[
\frac{2 \pi }{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]

再用一个大于1的常量E带入

1. Integrate[1/(1 + E*Cos[x])^2, x]

复制代码

得到
\[\frac{e \sin (x)}{\left(e^2-1\right) (e \cos (x)+1)}-\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{(e-1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{e^2-1}}\right)}{\left(e^2-1\right)^{3/2}}\]
带入积分区间，结果是0

如果a=1
直接积分得到
\[\frac{\sin (x) (\cos (x)+2)}{3 (\cos (x)+1)^2}\]
但是在积分区间上有一点等于零，好像不能积

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 378&fromuid=865
这儿有这种思路的具体体现与应用，
用特殊的无理常量，来帮你解决复杂的问题，由变量到常量，再由常量到变量，就能解决你的问题