数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 555|回复: 8

[求助] 求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ,a>0且为常数

[复制链接]
发表于 2019-9-3 22:26:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
求定积分 ∫(0,2π)1/(1+acosθ)^2dθ,a>0且为常数
\[\int_0^{2\pi}\frac{1}{(1+a\cos\theta)^2}\dif \theta\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-9-3 22:26:41 | 显示全部楼层
这个谁会
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
回复

使用道具 举报

发表于 2019-9-4 16:50:12 | 显示全部楼层


当然是mathematica辣
不定积分给出的结果是这玩意
\(\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-a} \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{a+1}}\right)}{\left(1-a^2\right)^{3/2}}+\frac{a \sin (\theta )}{\left(a^2-1\right) (a \cos (\theta )+1)}\)
  1. FullSimplify[
  2. D[(2 ArcTan[(Sqrt[1 - a] Tan[\[Theta]/2])/Sqrt[1 + a]])/(1 - a^2)^(
  3.    3/2) - (a Sin[\[Theta]])/((1 - a^2) (1 +
  4.       a Cos[\[Theta]])), \[Theta]]]
复制代码

验证得到
\(\frac{1}{(a \cos (\theta )+1)^2}\)

点评

大于1可以是反常积分啊  发表于 2019-9-7 22:37
怎么说a也有可能大于1  发表于 2019-9-7 13:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-9-4 17:47:07 来自手机 | 显示全部楼层
理论上可以用万能公式计算
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-9-4 20:57:10 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-9-4 17:47
理论上可以用万能公式计算

确实是用万能公式,但我不知道该怎么用,算了几天了,论坛高手可否分析一二,
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-9-7 13:35:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-9-7 13:45 编辑

用无理常数来帮你解决问题!
假设a为eulergamma这个常数,这个常数不可能被加减乘除开方立方等消除,
所以就把他看成一个特殊的变量,用来积分
  1. Integrate[1/(1 + EulerGamma*Cos[x])^2, x]
复制代码

然后得到
\[
\frac{\gamma  \sin (x)}{\left(\gamma ^2-1\right) (\gamma  \cos (x)+1)}-\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{(\gamma -1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\gamma ^2}}\right)}{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]

再带入积分区间,得到
\[
\frac{2 \pi }{\left(1-\gamma ^2\right)^{3/2}}
\]

再用一个大于1的常量E带入
  1. Integrate[1/(1 + E*Cos[x])^2, x]
复制代码

得到
\[\frac{e \sin (x)}{\left(e^2-1\right) (e \cos (x)+1)}-\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{(e-1) \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{e^2-1}}\right)}{\left(e^2-1\right)^{3/2}}\]
带入积分区间,结果是0

如果a=1
直接积分得到
\[\frac{\sin (x) (\cos (x)+2)}{3 (\cos (x)+1)^2}\]
但是在积分区间上有一点等于零,好像不能积
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-9-7 13:38:13 | 显示全部楼层
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 378&fromuid=865
这儿有这种思路的具体体现与应用,
用特殊的无理常量,来帮你解决复杂的问题,由变量到常量,再由常量到变量,就能解决你的问题
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-11-12 20:56 , Processed in 0.069175 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表