关于代数数的两个疑问
某n次整系数多项式P(x)=0有n个根，这n个根按什么规则排序？比如Mathematica的Root函数是二元函数：多项式与根的编号。长期我解方程都没在意按次序答题目，考试也没扣分。
求代数数展开成广义连分数的资料，我在某英文论文看见，一句话提过这样的算法，接着就说连分数展开不如牛顿法来的快。不过现在我是对连分数形式更感兴趣。
下面是非代数数π的广义连分数展开
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839fbef04f17dc2e8e5c0fdef3a8e6da36de8781 我在某英文论文看见
找回是这里 https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/contfrac/algebraic.html
上面提到 http://mipagina.cantv.net/arithmetic/gencontfrac.htm 死链与 https://www.mathpages.com/home/kmath434.htm
Mathematica的文档Root里的解释是
The ordering used by Root takes real roots to come before complex ones, and takes complex conjugate pairs of roots to be adjacent.
排序规则是 实根在复根前面，共轭根 对 是相邻的 本帖最后由 zeroieme 于 2019-10-3 10:00 编辑
wayne 发表于 2019-10-3 07:16
Mathematica的文档Root里的解释是
排序规则是 实根在复根前面，共轭根 对 是相邻的
这个是公认的学术规则吗？
& 死链如果web.archive.org里没有，还有可能在什么地方找回来？
根的顺序并不重要。先排列实数再复数不过是因为通常大家会对实数解更有兴趣 mathe说的有道理。
为了打消神秘感，我还是尝试一下，找到Mathematica具体的顺序是怎么安排的，写了点代码，把Root按照序号画出来了。
我把$x^11 - 3 x = 1$ 与 $x^20 - x^2 + 3 x = 1$ 的所有根都画在复平面上。如图：【目测是按照辐角主值的绝对值从大到小排列的】
【因为实根没有Root根的序号，所以没有画出来，但是明显从1号开始，从小到大，在实轴上分布。】
ans = RootReduce];
Graphics,
Point[{Re]], Im]]}],
Text]] == 0, Style]], Small, Bold, White],
Style], 2], Large, Bold, White]], {Re]],
Im]]}]}, {i, Length}],
AspectRatio -> 1, Axes -> True]
我打个岔。 对于多项式$P(x)=0$的n个复根，在复平面上，能覆盖这n个根的最小包络圆的半径怎么计算？ wayne 发表于 2019-10-3 17:12
我打个岔。 对于多项式$P(x)=0$的n个复根，在复平面上，能覆盖这n个根的最小包络圆的半径怎么计算？
能不能……
任取三个复数根，算出来一个圆，验证剩下的点在不在圆内
虽然复杂度有点爆表$(O(n^3))$……而且需要先求出n个复数根……但结果总是没问题的 本帖最后由 zeroieme 于 2019-10-3 23:57 编辑
mathe 发表于 2019-10-3 10:50
根的顺序并不重要。先排列实数再复数不过是因为通常大家会对实数解更有兴趣
根的顺序并不重要，谢谢。随之而来的问题，我想了解，给定一个代数数，怎么对它规范命名或者符号表示呢？
比如\(x^7+5 x-1=0\)的近似值为0.199997那个实数解，用什么符号表示这么一个无理数。
在根式情形\(\sqrt{2} \times \sqrt{3}=\sqrt{6}\)
非根式里代数数的运算，比如用Mathematica的Root表示如下加法
Root[-1+5 #1+#1^7&,1]+Root==Root
以上等式应当如何用规范的数学符号表示呢？ zeroieme 发表于 2019-10-3 09:58
这个是公认的学术规则吗？
解的顺序的确不重要,而且不是只有一种排列顺序
大家讨论的是用Solve解方程时解的顺序
如果用NSolve解方程时解的顺序则完全不同
同样以x^11-3 x= 1 为例
N,20]的输出:
{{x->-1.0754761813494644783},
{x->-0.33333521512661035005},
{x->1.1450085783058974247},
{x->-0.86504365392061517829-0.66090312310821527614 I},
{x->-0.86504365392061517829+0.66090312310821527614 I},
{x->-0.31115980279076649002-1.06716475922228174404 I},
{x->-0.31115980279076649002+1.06716475922228174404 I},
{x->0.37578383581993292121-1.06581714589361212959 I},
{x->0.37578383581993292121+1.06581714589361212959 I},
{x->0.93232102997653744889-0.65830099776928349317 I},
{x->0.93232102997653744889+0.65830099776928349317 I}}
NSolve 的输出:
{{x->-1.0754761813494644783},
{x->-0.86504365392061517829-0.66090312310821527614 I},
{x->-0.86504365392061517829+0.66090312310821527614 I},
{x->-0.33333521512661035005},
{x->-0.31115980279076649002-1.06716475922228174404 I},
{x->-0.31115980279076649002+1.06716475922228174404 I},
{x->0.37578383581993292121-1.06581714589361212959 I},
{x->0.37578383581993292121+1.06581714589361212959 I},
{x->0.93232102997653744889-0.65830099776928349317 I},
{x->0.93232102997653744889+0.65830099776928349317 I},
{x->1.1450085783058974247}}