关于代数数的两个疑问

zeroieme

某n次整系数多项式P(x)=0有n个根，这n个根按什么规则排序？比如Mathematica的Root函数是二元函数：多项式与根的编号。
长期我解方程都没在意按次序答题目，考试也没扣分。

求代数数展开成广义连分数的资料，我在某英文论文看见，一句话提过这样的算法，接着就说连分数展开不如牛顿法来的快。不过现在我是对连分数形式更感兴趣。

下面是非代数数π的广义连分数展开

zeroieme

我在某英文论文看见

找回是这里 https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/contfrac/algebraic.html
上面提到 http://mipagina.cantv.net/arithmetic/gencontfrac.htm 死链  与 https://www.mathpages.com/home/kmath434.htm

wayne

Mathematica的文档Root里的解释是

The ordering used by Root[f,k] takes real roots to come before complex ones, and takes complex conjugate pairs of roots to be adjacent.

排序规则是 实根在复根前面，共轭根 对 是相邻的

zeroieme

wayne 发表于 2019-10-3 07:16
Mathematica的文档Root里的解释是

排序规则是 实根在复根前面，共轭根 对 是相邻的

这个是公认的学术规则吗？



& 死链如果web.archive.org里没有，还有可能在什么地方找回来？

mathe

根的顺序并不重要。先排列实数再复数不过是因为通常大家会对实数解更有兴趣

wayne

mathe说的有道理。

为了打消神秘感，我还是尝试一下，找到Mathematica具体的顺序是怎么安排的，写了点代码，把Root按照序号画出来了。
我把$x^11 - 3 x = 1$ 与 $x^20 - x^2 + 3 x = 1$ 的所有根都画在复平面上。如图：【目测是按照辐角主值的绝对值从大到小排列的】
【因为实根没有Root根的序号，所以没有画出来，但是明显从1号开始，从小到大，在实轴上分布。】

1. ans = RootReduce[x /. Solve[x^11 - 3 x == 1, x]];
   
2. Graphics[Table[{Black, PointSize[.1],
   
3.    Point[{Re[ans[[i]]], Im[ans[[i]]]}],
   
4.    Text[If[Im[ans[[i]]] == 0, Style[N[ans[[i]]], Small, Bold, White],
   
5.      Style[Part[ans[[i]], 2], Large, Bold, White]], {Re[ans[[i]]],
   
6.      Im[ans[[i]]]}]}, {i, Length[ans]}],
   
7. AspectRatio -> 1, Axes -> True]

复制代码

wayne

我打个岔。 对于多项式$P(x)=0$的n个复根，在复平面上，能覆盖这n个根的最小包络圆的半径怎么计算？

.·.·.

wayne 发表于 2019-10-3 17:12
我打个岔。 对于多项式$P(x)=0$的n个复根，在复平面上，能覆盖这n个根的最小包络圆的半径怎么计算？

能不能……
任取三个复数根，算出来一个圆，验证剩下的点在不在圆内
虽然复杂度有点爆表$(O(n^3))$……而且需要先求出n个复数根……但结果总是没问题的

zeroieme

mathe 发表于 2019-10-3 10:50
根的顺序并不重要。先排列实数再复数不过是因为通常大家会对实数解更有兴趣

根的顺序并不重要，谢谢。随之而来的问题，我想了解，给定一个代数数，怎么对它规范命名或者符号表示呢？
比如\(x^7+5 x-1=0\)的近似值为0.199997那个实数解，用什么符号表示这么一个无理数。

在根式情形\(\sqrt{2} \times \sqrt{3}=\sqrt{6}\)

非根式里代数数的运算，比如用Mathematica的Root表示如下加法

1. Root[-1+5 #1+#1^7&,1]+Root[19+13 #1+#1^7&,1]==Root[633715840-3289704640 #1+15975574272 #1^2-45038968128 #1^3+89359175808 #1^4-96273785664 #1^5+33030144 #1^6+186106540309 #1^7+403997992846 #1^8+1346616591887 #1^9+1610322108948 #1^10+870987773411 #1^11+180212489982 #1^12+54984544153 #1^13+9102625182 #1^14-17692743978 #1^15+94660944588 #1^16+126771832908 #1^17+32501797398 #1^18+8902448478 #1^19+4785868311 #1^21-1066510116 #1^22+7865767042 #1^23+2940422604 #1^24+720401535 #1^25-63844956 #1^28-514836 #1^29+85142988 #1^30+20990340 #1^31+234899 #1^35-440426 #1^36-172921 #1^37+126 #1^42+126 #1^43+#1^49&,1]

复制代码

以上等式应当如何用规范的数学符号表示呢？

dlpg070

zeroieme 发表于 2019-10-3 09:58
这个是公认的学术规则吗？

解的顺序的确不重要,而且不是只有一种排列顺序
大家讨论的是用Solve解方程时解的顺序
如果用NSolve解方程时解的顺序则完全不同
同样以x^11-3 x  = 1 为例

N[Solve[x^11-3 x==1,x],20]的输出:

{{x->-1.0754761813494644783},
{x->-0.33333521512661035005},
{x->1.1450085783058974247},
{x->-0.86504365392061517829-0.66090312310821527614 I},
{x->-0.86504365392061517829+0.66090312310821527614 I},
{x->-0.31115980279076649002-1.06716475922228174404 I},
{x->-0.31115980279076649002+1.06716475922228174404 I},
{x->0.37578383581993292121-1.06581714589361212959 I},
{x->0.37578383581993292121+1.06581714589361212959 I},
{x->0.93232102997653744889-0.65830099776928349317 I},
{x->0.93232102997653744889+0.65830099776928349317 I}}

NSolve[x^11-3 x==1,x,WorkingPrecision->20] 的输出:


{{x->-1.0754761813494644783},
{x->-0.86504365392061517829-0.66090312310821527614 I},
{x->-0.86504365392061517829+0.66090312310821527614 I},
{x->-0.33333521512661035005},
{x->-0.31115980279076649002-1.06716475922228174404 I},
{x->-0.31115980279076649002+1.06716475922228174404 I},
{x->0.37578383581993292121-1.06581714589361212959 I},
{x->0.37578383581993292121+1.06581714589361212959 I},
{x->0.93232102997653744889-0.65830099776928349317 I},
{x->0.93232102997653744889+0.65830099776928349317 I},
{x->1.1450085783058974247}}