任意正整数均可无限重现的最佳数列
第1次选1，第2次以1/2的等概率选1和2，第3次以1/3的等概率选1到3，第4次以1/4的等概率选1到4，依次类推到第n→∞次，以1/n的等概率选1到n，那么可证每个数都会被无限多次选中。说明这个数列a(n)=a(n-1)+1增长得太慢了。改成素数数列：第1次在2以内随机选，第2次在3以内随机选，第3次在5以内随机选，第4次在7以内随机选，第5次在11以内随机选，依次类推到第n→∞次在第n个素数以内随机选，那么依然可证每个数都会被无限多次选中。说明这个素数数列a(n)=p(n)增长得还是太慢了。增长得再快一点：a(n)=a(n-1)+a(ln(n)取下整)，那么依然可证每个数都会被无限多次选中。再快一点就不行了，就存在一些数一次都不会被选中的情况了。如果我要保证第k次从1到a(k)等概率选数(k=1,2,...n，n→∞)时，每个数都会被无限多次选中，那么a(n)的增速最快可以去到多快呢？ 举个栗子呗，最好上举着栗子的图 首先BC引理把这个问题转化成数列发散问题然后证明不存在最慢的发散数列
然后我们就证完了。
（以下结论未验证）
感觉a(n)=a(n-1)+a(ln(n)lnln(n))也是可以的，多写几个ln似乎也没问题
BC引理，对事件${X_i},i=1,2,...$
$\{X_i i . o .\}$==>$\sum_{i=1}^\infty P(X_i)=\infty$
于是我们只需要考虑数字1是否会无穷次选中
此时$P(X_i)=\frac1{a(n)}$
然后我的意思是比如a(n)=n Log Log] Log]]（取整）
之后有$\sum_{i=1}^\infty a(i)=\infty$（我数分不太好，但这好歹是Mathematica验证过的...）
随手查了一下
https://www.zhihu.com/question/67774899
从这里可以看到，不存在“最大的”a(n)使得$\sum_{i=1}^\infty a(i)=\infty$
只要你给定一组a(n)，一定能找到一组b(n)使得an/bn->0而$\sum_{i=1}^\infty b(i)=\infty$
BC引理全称为Borel-Cantelli引理
i.o.是无穷次出现的缩写 $a(n)=a(n-1)+a(ln(n)lnln(n))$不行，增长太快了。
事实上$a(n)=a(n-1)+a(\lfloor \log_b(n)\rfloor)$里面的$b$只要小于自然指数$e$，倒数和就收敛了。
具体的讨论在这里：https://bbs.emath.ac.cn/thread-9628-1-1.html
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目前我能找到的增长得最快且倒数和发散的数列是$a(n)=a(n-1)+a(\ceil{ln(n)})$。
在倒数和发散的前提下，这个数列还能增长得更快吗？如果可以，该怎么改进？
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