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[原创] 任意正整数均可无限重现的最佳数列

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发表于 2019-11-3 04:18:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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第1次选1,第2次以1/2的等概率选1和2,第3次以1/3的等概率选1到3,第4次以1/4的等概率选1到4,依次类推到第n→∞次,以1/n的等概率选1到n,那么可证每个数都会被无限多次选中。说明这个数列a(n)=a(n-1)+1增长得太慢了。改成素数数列:第1次在2以内随机选,第2次在3以内随机选,第3次在5以内随机选,第4次在7以内随机选,第5次在11以内随机选,依次类推到第n→∞次在第n个素数以内随机选,那么依然可证每个数都会被无限多次选中。说明这个素数数列a(n)=p(n)增长得还是太慢了。增长得再快一点:a(n)=a(n-1)+a(ln(n)取下整),那么依然可证每个数都会被无限多次选中。再快一点就不行了,就存在一些数一次都不会被选中的情况了。如果我要保证第k次从1到a(k)等概率选数(k=1,2,...n,n→∞)时,每个数都会被无限多次选中,那么a(n)的增速最快可以去到多快呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-3 08:17:38 | 显示全部楼层
举个栗子呗,最好上举着栗子的图
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发表于 2019-11-3 09:35:50 | 显示全部楼层
首先BC引理把这个问题转化成数列发散问题
然后证明不存在最慢的发散数列
然后我们就证完了。

(以下结论未验证)
感觉a(n)=a(n-1)+a(ln(n)lnln(n))也是可以的,多写几个ln似乎也没问题

点评

我感觉多了双重ln就不行了……要不你把增速展开试试看?  发表于 2019-11-3 13:05
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发表于 2019-11-3 16:27:25 | 显示全部楼层
BC引理,对事件${X_i},i=1,2,...$
$\{X_i i . o .\}$==>$\sum_{i=1}^\infty P(X_i)=\infty$
于是我们只需要考虑数字1是否会无穷次选中
此时$P(X_i)=\frac1{a(n)}$
然后我的意思是比如a(n)=n Log[n] Log[Log[n]] Log[Log[Log[n]]](取整)
之后有$\sum_{i=1}^\infty a(i)=\infty$(我数分不太好,但这好歹是Mathematica验证过的...)

随手查了一下
https://www.zhihu.com/question/67774899
从这里可以看到,不存在“最大的”a(n)使得$\sum_{i=1}^\infty a(i)=\infty$
只要你给定一组a(n),一定能找到一组b(n)使得an/bn->0而$\sum_{i=1}^\infty b(i)=\infty$

BC引理全称为Borel-Cantelli引理
i.o.是无穷次出现的缩写
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