本帖最后由 王守恩 于 2019-11-25 22:07 编辑
zeroieme 发表于 2019-11-25 19:37
可以转为代数讨论吗？
\(x+y+z=p,x y z=H\)。不就是三次方程\(v^3-p*v^2+t*v-H=0\)吗？ 对应有三次方程\(u ...
记三角形三边a,b,c，a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z均为正整数，
解方程组：\(x+y+z=m\ \ \ \ \ x*y*z=m*n^2\)
其中 n,m 是已知正整数，可得周长,面积都是正整数的三角形。
补充内容 (2019-11-29 12:26):
x*y*z=m*n^2 应改为：m*x*y*z=n^2
王守恩 发表于 2019-11-25 20:12
记三角形三边a,b,c，a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z均为正整数，
解方程组：\(\D\frac{x*y*z}{x+y+z}=n^2 ...
呵呵
八个的，周长$3302$，面积$180sqrt$：
${601, 1347, 1354}, {606, 1315, 1381}, {625, 1266, 1411}, {643, 1233, 1426}, {739, 1101, 1462}, {796, 1035, 1471}, {841, 986, 1475}, {859, 967, 1476}$
周长$3914$，面积$420 sqrt$：
${697, 1572, 1645}, {725, 1502, 1687}, {732, 1489, 1693}, {813, 1369, 1732}, {956, 1201, 1757}, {982, 1173, 1759}, {1021, 1132, 1761}, {1075, 1077, 1762}$
周长$4222$，面积$120 sqrt$：
${836, 1643, 1743}, {869, 1567, 1786}, {887, 1536, 1799}, {911, 1499, 1812}, {938, 1461, 1823}, {1006, 1375, 1841}, {1076, 1295, 1851}, {1175, 1191, 1856}$
九个的，周长$3718$，面积$60060 sqrt$：
${605, 1499, 1614}, {634, 1441, 1643}, {662, 1397, 1659}, {671, 1384, 1663}, {719, 1320, 1679}, {759, 1271, 1688}, {795, 1229, 1694}, {914, 1099, 1705}, {977, 1034, 1707}$
用了一个比较高效的算法。
十个的，周长是$19058$，面积是$360360 sqrt$：
${2379, 8206, 8473}, {2401, 8129, 8528}, {2473, 7956, 8629}, {2753, 7504, 8801}, {3094, 7065, 8899}, {3289, 6834, 8935}, {3479, 6617, 8962}, {3913, 6141, 9004}, {3985, 6064, 9009}, {4810, 5209, 9039}$
十一个的，周长是$21926$，面积是$47880 sqrt$：
${3268, 9263, 9395}, {3363, 8923, 9640}, {3403, 8835, 9688}, {3466, 8713, 9747}, {3907, 8056, 9963}, {4243, 7638, 10045}, {4588, 7239, 10099}, {4663, 7155, 10108}, {4883, 6913, 10130}, {5455, 6308, 10163}, {5523, 6238, 10165}$
十一个的还有一组更小的，周长$16462$，面积$840 sqrt$:
${2246, 7041, 7175}, {2247, 7034, 7181}, {2291, 6871, 7300}, {2351, 6735, 7376}, {2417, 6614, 7431}, {2631, 6293, 7538}, {2911, 5936, 7615}, {3063, 5756, 7643}, {3556, 5207, 7699}, {3975, 4766, 7721}, {4304, 4431, 7727}$
dlsh 发表于 2019-11-23 22:16
面积有整数解吗?
周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的不会超过 4 组？
王守恩 发表于 2019-11-26 14:37
周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的不会超过 4 组？
有五个的，周长是$7546$，面积是$2522520$：
${1901,2772,2873},{1914,2723,2909},{1925,2693,2928},{2018,2525,3003},{2213,2288,3045}$
wayne 发表于 2019-11-23 14:11
设三角形三边分别是$x+y,y+z,z+x$,周长$2p$,面积为$A$, 那么$x+y+z = L/2=p,$,再根据海伦公式 $ xyz(x+y+z) ...
这种设定参数的方式没法解决 1/2的整数倍的情况。重新调整一下。
设三边分别是$a,b,c, L=a+b+c,x=b+c-a= L-2a, y=a+c-b =L-2b,z=a+b-c=L-2c$，那么 海伦公式$16S^2=(x+y+z)xyz$
lsr314 发表于 2019-11-26 15:24
有五个的，周长是$7546$，面积是$2522520$：
${1901,2772,2873},{1914,2723,2909},{1925,2693,2928},{20 ...
周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的能再来一个？
代码发你，其中有两个参数可以自己调，maxabc表示a,b,c的上限，越大表示搜索范围越大，maxprime表示abc的最大素因子，越大搜索范围越大，但是太大效率会降低。
maxabc = 5*10^3;
maxprime = 20;
f := Last, {mm_, nn_} -> mm]]
R = Select, f[#] < maxprime &];
Length
Do, (p > # > p/3) &];
g = Select] &];
If] >= 4,
g1 = {{a + b, a + c, c + b}};
Do; {x, y, z} =
Sort[{p - t, (p + t + d)/2, (p + t - d)/2}];
g1 = Union, {t, Complement}];
If >= 5 && Union] == {1},
Print[{Length, a, b, c, g1}]]], {a, Select}, {b,
Select}, {c,
Select == 1 &&
IntegerQ]) &]}]
补充几个一下周长为12，面积为6的有理边三角形
可以归结为脱圈曲线$y^2=x^3-9x+9$的有理点问题。