周长、面积相等的本原三角形

王守恩

zeroieme 发表于 2019-11-25 19:37
可以转为代数讨论吗？
\(x+y+z=p,x y z=H\)。不就是三次方程\(v^3-p*v^2+t*v-H=0\)吗？ 对应有三次方程\(u ...

记三角形三边a,b,c，a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z均为正整数，

解方程组：\(x+y+z=m\ \ \ \ \ x*y*z=m*n^2\)

其中 n,m 是已知正整数，可得周长,面积都是正整数的三角形。

补充内容 (2019-11-29 12:26):
  x*y*z=m*n^2 应改为：m*x*y*z=n^2

zeroieme

王守恩 发表于 2019-11-25 20:12
记三角形三边a,b,c，a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z均为正整数，

解方程组：\(\D\frac{x*y*z}{x+y+z}=n^2 ...

呵呵

lsr314

八个的，周长$3302$，面积$180sqrt[4830826]$：
${601, 1347, 1354}, {606, 1315, 1381}, {625, 1266, 1411}, {643, 1233, 1426}, {739, 1101, 1462}, {796, 1035, 1471}, {841, 986, 1475}, {859, 967, 1476}$

周长$3914$，面积$420 sqrt[1679106]$：
${697, 1572, 1645}, {725, 1502, 1687}, {732, 1489, 1693}, {813, 1369, 1732}, {956, 1201, 1757}, {982, 1173, 1759}, {1021, 1132, 1761}, {1075, 1077, 1762}$

周长$4222$，面积$120 sqrt[32190639]$：
${836, 1643, 1743}, {869, 1567, 1786}, {887, 1536, 1799}, {911, 1499, 1812}, {938, 1461, 1823}, {1006, 1375, 1841}, {1076, 1295, 1851}, {1175, 1191, 1856}$

九个的，周长$3718$，面积$60060 sqrt[57]$：
${605, 1499, 1614}, {634, 1441, 1643}, {662, 1397, 1659}, {671, 1384, 1663}, {719, 1320, 1679}, {759, 1271, 1688}, {795, 1229, 1694}, {914, 1099, 1705}, {977, 1034, 1707}$

lsr314

用了一个比较高效的算法。
十个的，周长是$19058$，面积是$360360 sqrt[733]$：
${2379, 8206, 8473}, {2401, 8129, 8528}, {2473, 7956, 8629}, {2753, 7504, 8801}, {3094, 7065, 8899}, {3289, 6834, 8935}, {3479, 6617, 8962}, {3913, 6141, 9004}, {3985, 6064, 9009}, {4810, 5209, 9039}$

十一个的，周长是$21926$，面积是$47880 sqrt[98090]$：
${3268, 9263, 9395}, {3363, 8923, 9640}, {3403, 8835, 9688}, {3466,   8713, 9747}, {3907, 8056, 9963}, {4243, 7638, 10045}, {4588, 7239,   10099}, {4663, 7155, 10108}, {4883, 6913, 10130}, {5455, 6308,   10163}, {5523, 6238, 10165}$

十一个的还有一组更小的，周长$16462$，面积$840 sqrt[87734229]$:
${2246, 7041, 7175}, {2247, 7034, 7181}, {2291, 6871, 7300}, {2351, 6735, 7376}, {2417, 6614, 7431}, {2631, 6293, 7538}, {2911, 5936, 7615}, {3063, 5756, 7643}, {3556, 5207, 7699}, {3975, 4766, 7721}, {4304, 4431, 7727}$

王守恩

dlsh 发表于 2019-11-23 22:16
面积有整数解吗?

周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的不会超过 4 组？

lsr314

王守恩 发表于 2019-11-26 14:37
周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的不会超过 4 组？

有五个的，周长是$7546$，面积是$2522520$：
${1901,2772,2873},{1914,2723,2909},{1925,2693,2928},{2018,2525,3003},{2213,2288,3045}$

wayne

wayne 发表于 2019-11-23 14:11
设三角形三边分别是$x+y,y+z,z+x$,周长$2p$,面积为$A$, 那么$x+y+z = L/2=p,$,再根据海伦公式 $ xyz(x+y+z) ...

这种设定参数的方式没法解决 1/2的整数倍的情况。重新调整一下。
设三边分别是$a,b,c, L=a+b+c,  x=b+c-a= L-2a, y=a+c-b =L-2b,z=a+b-c=L-2c$，那么 海伦公式$16S^2=(x+y+z)xyz$

王守恩

lsr314 发表于 2019-11-26 15:24
有五个的，周长是$7546$，面积是$2522520$：
${1901,2772,2873},{1914,2723,2909},{1925,2693,2928},{20 ...

周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的能再来一个？

lsr314

代码发你，其中有两个参数可以自己调，maxabc表示a,b,c的上限，越大表示搜索范围越大，maxprime表示abc的最大素因子，越大搜索范围越大，但是太大效率会降低。

1. maxabc = 5*10^3;
   
2. maxprime = 20;
   
3. f[l_] := Last[Cases[FactorInteger[l], {mm_, nn_} -> mm]]
   
4. R = Select[Range[maxabc], f[#] < maxprime &];
   
5. Length[R]
   
6. Do[p = a + b + c; q = a b c; gg = Select[Divisors[q], (p > # > p/3) &];
   
7. g = Select[gg, IntegerQ[Sqrt[(p - #)^2 - 4 q/#]] &];
   
8. If[Length[Complement[g, {a, b, c}]] >= 4,
   
9.   g1 = {{a + b, a + c, c + b}};
   
10.   Do[d = Sqrt[(p - t)^2 - 4 q/t]; {x, y, z} =
    
11.     Sort[{p - t, (p + t + d)/2, (p + t - d)/2}];
    
12.    g1 = Union[g1, {{x, y, z}}], {t, Complement[g, {a, b, c}]}];
    
13.   If[Length[g1] >= 5 && Union[Table[GCD @@ kk, {kk, g1}]] == {1},
    
14.    Print[{Length[g1], a, b, c, g1}]]], {a, Select[R, # > 727 &]}, {b,
    
15.   Select[R, # >= a &]}, {c,
    
16.   Select[R, (# >= b && GCD[a + b, b + #, a + #] == 1 &&
    
17.       IntegerQ[Sqrt[a b # (a + b + #)]]) &]}]

复制代码

xiaoshuchong

补充几个一下周长为12，面积为6的有理边三角形


[3, 4, 5]

[41/15, 156/35, 101/21]

[27689/8023, 35380/10153, 81831/16159]

[221167193/81180907, 678541575/151345267, 683550052/142637329]

[112134202236876/37065988023371, 91856397607001/23156698179195, 147311847839141/29415245790105]

[471663882495560431155/158512391812574146717, 511599346450918328453/126853473872053521277, 996719707791196505332/199685767847738000329]

[44674648294809315418975615060/16284157863588586845653556313, 105329278242909403586302548531/23774575548027944016058389349, 87650455277334887123313753509/18161286557570123171396798533]

[127316294166471509069925699734922551321/37248769266980289045162121771272979491, 132800518400474200549375613001152517701/37744508997346104524562339096759721425, 480601540334684419789747742089927221036/94913133095635593759085400259266858075]

可以归结为脱圈曲线$y^2=x^3-9x+9$的有理点问题。