周长、面积相等的本原三角形

lsr314

称三边长都是正整数并且最大公约数为$1$的三角形为本原三角形。
三边长分别为$(14,31,33),(15,29,34),(19,24,35)$的三个三角形，周长都等于$39$，面积都是$60sqrt{13}$。
那么，是否存在四个周长和面积彼此相等的本原三角形？五个以及更多个呢？
如果不要求本原，那么任意多个都是可以的：
假设$P(x,k)$是曲线$k^2 + 2 k x^2 =2 x^3 + x^2 + x/9$上的有理点，且$-1<x<0,a=6(1+x),$再由$a+b+c=12,(6-a)(6-b)(6-c)=6$解出$b,c$即得到一个和$(3,4,5)$周长和面积相等的三角形。同时放大即得到整数边长的三角形，这样的解有无限多个。

mathematica

\begin{array}{ccccc}
31 & 89 & 96 & 216 & 36 \sqrt{1463} \\
32 & 87 & 97 & 216 & 36 \sqrt{1463} \\
51 & 64 & 101 & 216 & 36 \sqrt{1463} \\
\end{array}
你的周长应该是39*2=78

mathematica

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
17 & 122 & 123 & 262 & 12 \sqrt{7467} \\
23 & 112 & 127 & 262 & 12 \sqrt{7467} \\
59 & 74 & 129 & 262 & 12 \sqrt{7467} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
43 & 106 & 113 & 262 & 60 \sqrt{1441} \\
56 & 87 & 119 & 262 & 60 \sqrt{1441} \\
71 & 71 & 120 & 262 & 60 \sqrt{1441} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
51 & 101 & 110 & 262 & 60 \sqrt{1834} \\
61 & 86 & 115 & 262 & 60 \sqrt{1834} \\
71 & 75 & 116 & 262 & 60 \sqrt{1834} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
55 & 103 & 104 & 262 & 12 \sqrt{52269} \\
59 & 93 & 110 & 262 & 12 \sqrt{52269} \\
74 & 75 & 113 & 262 & 12 \sqrt{52269} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
66 & 95 & 101 & 262 & 30 \sqrt{10218} \\
71 & 86 & 105 & 262 & 30 \sqrt{10218} \\
77 & 79 & 106 & 262 & 30 \sqrt{10218} \\
\end{array}
\right)

\]

mathematica

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
49 & 108 & 109 & 266 & 420 \sqrt{38} \\
53 & 98 & 115 & 266 & 420 \sqrt{38} \\
58 & 91 & 117 & 266 & 420 \sqrt{38} \\
63 & 85 & 118 & 266 & 420 \sqrt{38} \\
\end{array}
\right)\]
找到一组你想要的解答

mathematica

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
32 & 117 & 125 & 274 & 60 \sqrt{959} \\
37 & 109 & 128 & 274 & 60 \sqrt{959} \\
47 & 97 & 130 & 274 & 60 \sqrt{959} \\
62 & 81 & 131 & 274 & 60 \sqrt{959} \\
\end{array}
\right)\]
又找到一组

mathematica

mathematica 发表于 2019-11-22 10:51
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
32 & 117 & 125 & 274 & 60 \sqrt{959} \\

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
69 & 110 & 119 & 298 & 60 \sqrt{3874} \\
74 & 101 & 123 & 298 & 60 \sqrt{3874} \\
77 & 97 & 124 & 298 & 60 \sqrt{3874} \\
84 & 89 & 125 & 298 & 60 \sqrt{3874} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
49 & 125 & 132 & 306 & 84 \sqrt{1326} \\
55 & 114 & 137 & 306 & 84 \sqrt{1326} \\
62 & 105 & 139 & 306 & 84 \sqrt{1326} \\
69 & 97 & 140 & 306 & 84 \sqrt{1326} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
35 & 129 & 146 & 310 & 60 \sqrt{1209} \\
38 & 125 & 147 & 310 & 60 \sqrt{1209} \\
51 & 110 & 149 & 310 & 60 \sqrt{1209} \\
77 & 83 & 150 & 310 & 60 \sqrt{1209} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
53 & 133 & 136 & 322 & 420 \sqrt{69} \\
56 & 125 & 141 & 322 & 420 \sqrt{69} \\
71 & 105 & 146 & 322 & 420 \sqrt{69} \\
86 & 89 & 147 & 322 & 420 \sqrt{69} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
41 & 142 & 151 & 334 & 60 \sqrt{2338} \\
47 & 132 & 155 & 334 & 60 \sqrt{2338} \\
55 & 122 & 157 & 334 & 60 \sqrt{2338} \\
83 & 92 & 159 & 334 & 60 \sqrt{2338} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
69 & 133 & 136 & 338 & 780 \sqrt{33} \\
70 & 129 & 139 & 338 & 780 \sqrt{33} \\
79 & 114 & 145 & 338 & 780 \sqrt{33} \\
94 & 97 & 147 & 338 & 780 \sqrt{33} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
22 & 158 & 161 & 341 & \frac{165 \sqrt{1767}}{4} \\
28 & 148 & 165 & 341 & \frac{165 \sqrt{1767}}{4} \\
33 & 142 & 166 & 341 & \frac{165 \sqrt{1767}}{4} \\
85 & 88 & 168 & 341 & \frac{165 \sqrt{1767}}{4} \\
\end{array}
\right)\]

mathematica

mathematica 发表于 2019-11-22 11:00
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
69 & 110 & 119 & 298 & 60 \sqrt{3874} \\

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
55 & 147 & 148 & 350 & 1260 \sqrt{10} \\
63 & 130 & 157 & 350 & 1260 \sqrt{10} \\
70 & 121 & 159 & 350 & 1260 \sqrt{10} \\
94 & 95 & 161 & 350 & 1260 \sqrt{10} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
63 & 142 & 145 & 350 & 420 \sqrt{110} \\
70 & 127 & 153 & 350 & 420 \sqrt{110} \\
76 & 119 & 155 & 350 & 420 \sqrt{110} \\
95 & 98 & 157 & 350 & 420 \sqrt{110} \\
\end{array}
\right)\]
周长350特殊,有两组解答

mathematica

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
50 & 157 & 163 & 370 & 30 \sqrt{17094} \\
53 & 150 & 167 & 370 & 30 \sqrt{17094} \\
59 & 141 & 170 & 370 & 30 \sqrt{17094} \\
75 & 122 & 173 & 370 & 30 \sqrt{17094} \\
95 & 101 & 174 & 370 & 30 \sqrt{17094} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
94 & 131 & 145 & 370 & 60 \sqrt{10101} \\
95 & 129 & 146 & 370 & 60 \sqrt{10101} \\
101 & 120 & 149 & 370 & 60 \sqrt{10101} \\
107 & 113 & 150 & 370 & 60 \sqrt{10101} \\
\end{array}
\right)\]

mathematica

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
67 & 201 & 218 & 486 & 540 \sqrt{154} \\
68 & 199 & 219 & 486 & 540 \sqrt{154} \\
75 & 188 & 223 & 486 & 540 \sqrt{154} \\
93 & 166 & 227 & 486 & 540 \sqrt{154} \\
103 & 155 & 228 & 486 & 540 \sqrt{154} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
73 & 198 & 215 & 486 & 270 \sqrt{714} \\
90 & 173 & 223 & 486 & 270 \sqrt{714} \\
103 & 158 & 225 & 486 & 270 \sqrt{714} \\
117 & 143 & 226 & 486 & 270 \sqrt{714} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{ccccc}
83 & 201 & 218 & 502 & 60 \sqrt{19327} \\
86 & 195 & 221 & 502 & 60 \sqrt{19327} \\
97 & 179 & 226 & 502 & 60 \sqrt{19327} \\
101 & 174 & 227 & 502 & 60 \sqrt{19327} \\
131 & 141 & 230 & 502 & 60 \sqrt{19327} \\
\end{array}
\right)\]

周长518的解答好多呀
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
79 & 215 & 224 & 518 & 420 \sqrt{407} \\
91 & 193 & 234 & 518 & 420 \sqrt{407} \\
94 & 189 & 235 & 518 & 420 \sqrt{407} \\
109 & 171 & 238 & 518 & 420 \sqrt{407} \\
119 & 160 & 239 & 518 & 420 \sqrt{407} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
103 & 204 & 211 & 518 & 24 \sqrt{185185} \\
116 & 179 & 223 & 518 & 24 \sqrt{185185} \\
129 & 163 & 226 & 518 & 24 \sqrt{185185} \\
142 & 149 & 227 & 518 & 24 \sqrt{185185} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
105 & 202 & 211 & 518 & 84 \sqrt{15466} \\
107 & 196 & 215 & 518 & 84 \sqrt{15466} \\
115 & 182 & 221 & 518 & 84 \sqrt{15466} \\
145 & 147 & 226 & 518 & 84 \sqrt{15466} \\
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{ccccc}
123 & 196 & 199 & 518 & 84 \sqrt{18870} \\
124 & 191 & 203 & 518 & 84 \sqrt{18870} \\
133 & 174 & 211 & 518 & 84 \sqrt{18870} \\
147 & 157 & 214 & 518 & 84 \sqrt{18870} \\
\end{array}
\right)
\]


\[\left(
\begin{array}{ccccc}
87 & 250 & 253 & 590 & 60 \sqrt{32214} \\
100 & 223 & 267 & 590 & 60 \sqrt{32214} \\
106 & 215 & 269 & 590 & 60 \sqrt{32214} \\
115 & 204 & 271 & 590 & 60 \sqrt{32214} \\
151 & 165 & 274 & 590 & 60 \sqrt{32214} \\
\end{array}
\right)\]

wayne

设三角形三边分别是$x+y,y+z,z+x$,周长$2p$,面积为$A$, 那么$x+y+z = L/2=p,$,再根据海伦公式 $ xyz(x+y+z) =p xyz=A^2$
设$GCD(x,y,z)=1$, 解方程得通解 $x=uv,y=vw,z=wu,p=uv+vw+wu, A^2=u^2v^2w^2(uv+vw+wu)$,其中$GCD(u,v,w)=1$