周长、面积相等的本原三角形

zeroieme

wayne 发表于 2019-11-23 14:11
设三角形三边分别是$x+y,y+z,z+x$,周长$2p$,面积为$A$, 那么$x+y+z = L/2=p,$,再根据海伦公式 $ xyz(x+y+z) ...

若u,v,w为奇，于是x=uv,y=vw,z=wu为奇,因此x+y,y+z,z+x为偶。
需要补丁。

dlsh

面积有整数解吗?

wayne

我找到了一个目前为止 周长最小的解:
${46,93,97},{48,88,100},{55,78,103},{64,68,104}$,周长是$L=236$, 面积$60 \sqrt{1239}$
${65, 121, 74}, {52, 120, 88}, {40, 116, 104}, {39, 115, 106}$,周长是$L=260$, 面积$780 \sqrt{7}$
${58, 100, 102}, {60, 94, 106}, {66, 85, 109}, {74, 76, 110}$,周长是$L=260$, 面积$120 \sqrt{546}$
${45,111,114},{51,99,120},{54,95,121},{72,75,123}$,周长是$L=270$, 面积$540 \sqrt{21}$

1. {a, b, c, x, y, z} =.; Table[{length,
   
2.   Table[{{a, b, c} = tuple;
   
3.     sol = Solve[
   
4.       x + y + z ==
   
5.         a + b + c && (x + y - z) (x - y + z) (-x + y + z) == (a + b -
   
6.            c) (-a + b + c) (a - b + c) && z >= y >= x > 0, {x, y, z},
   
7.       Integers]; If[Length[sol] > 3, tmp = {x, y, z} /. sol;
   
8.      Print[{tuple, length,
   
9.        Sqrt[(a + b - c) (-a + b + c) (a - b + c) length]/4, tmp}];
   
10.      tmp, {}]}, {tuple,
    
11.     Select[IntegerPartitions[length, {3}],
    
12.      GCD @@ # == 1 && #.{-1, 1, 1} > 0 && #.{1, -1, 1} >
    
13.         0 && #.{1, 1, -1} > 0 &]}]}, {length, 1, 260}]

复制代码

wayne

dlsh 发表于 2019-11-23 22:16
面积有整数解吗?

有的.找到了一组:${74,182,192},{84,164,200},{96,149,203},{104,140,204}$  周长448,面积是6720

mathe

找周长和面积的平方都是有理数而且相等的多个三角形，wayne已经转化为找三个有理数x,y,z使得
$x+y+z=p, xyz=H={A^2}/p$, 如果存在有理解，说明对于选定的z,
那么$(x+y)^2=(p-z)^2, xy=H/z$, 所以$(x-y)^2=(p-z)^2-{4H}/z$, 或者$({x-y}/z)^2=(p/z-1)^2-{4A^2}/{pz^3}$.
所以$({x-y}/{2Apz})^2=(1/{2Az}-1/{2Ap})^2-1/{p^3z^3}$
设$Y={x-y}/{2Apz}, X=-1/{pz}$,于是转变为椭圆曲线$Y^2=X^3+({pX}/{2A}+1/{2Ap})^2$
而对于这样一个椭圆曲线，如果存在一个有理解，那么通常的我们可以通过椭圆曲线上的加法运算得到更多的（甚至无穷组）椭圆曲线上的有理点。所以关键就是找一条包含无穷组有理点的椭圆曲线，转化为上面的格式然后就可以找出很多个周长面积相等的本原三角形。

mathe

然后比如使用wayne的上面的数据对于三角形{74,182,192}, 我们有$A=6720, p=224, x=32,y=42,z=150$
得出对应椭圆曲线方程为$Y^2=X^3+1/3600*X^2 + 1/90316800*X + 1/9063471513600$
在Pari/gp中可以输入
(20:22) gp >  E=ellinit([0,1/3600,0,1/90316800,1/9063471513600])
然后计算上面初始值对应的$X=-1/33600, Y=-1/45158400$
比如我们现在可以计算
(20:46) gp > A=[-1/33600, -1/45158400]
%53 = [-1/33600, -1/45158400]
(20:47) gp > ellmul(E,A,2)
%54 = [531/140000, -2277461/9408000000]
于是我们得出另外一组有理解X=531/140000,Y=-2277461/9408000000
由于$z=-1/{pX}$,我们应该选择X<0,我们需要放弃掉
计算
(20:48) gp > ellmul(E,A,3)
%58 = [-403904959/12933517542400, -658392728787/9302613561616793600]
(20:52) gp > -1/(p*-403904959/12933517542400)
%59 = 57738917600/403904959
所以对应z=57738917600/403904959
再由x-y=2ApzY, x+y+z=p得出
x=1862152134/73618597,y=3153883974/56568187，z=57738917600/403904959
这三个数也满足p=224,A=6270.
当然如果我们需要得到整数解，需要对它们放大一个公共的倍数1296938823349
也就是在wayne解的基础上，我们将每个数乘上公共倍数1296938823349，然后就可以添加一个新的三角形有相同的整数半周长和面积了
而另外一方面，根据
(20:46) gp > ellanalyticrank(E)
%52 = [3, 434.77307861844296330471641073574398495]
这条椭圆曲线上会有无穷个有理点，所以正常情况，我们应该可以利用这条曲线构造出任意多个面积和周长都相等而且是整数的三角形。

mathe

lsr314要求三边长度最大公约数为1，简单椭圆曲线构造方法得到大部分点放大整数倍后最大公约数会大于1,不满足要求，所以应该找那些维数特别高的才有可能

wayne

找到了六个的解:周长$854$,面积$420\sqrt{2379}$

${{112,367,375},{115,357,382},{127,336,391},{147,310,397},{167,287,400},{193,259,402}}$

lsr314

找到一组七个的,周长为$1778$，面积为$120 sqrt[265811]$:
${153,811,814},{199,729,850},{239,682,857},{314,601,863},{337,577,864},{369,544,865},{439,473,866}$

七个的也不少，周长更小的是$1022$，面积为$420 sqrt[5694]$:
${147, 436, 439}, {151, 420, 451}, {175, 381, 466}, {186, 367,  469}, {196, 355, 471}, {231, 316, 475}, {251, 295, 476}$

zeroieme

可以转为代数讨论吗？
\(x+y+z=p,x y z=H\)。不就是三次方程\(v^3-p*v^2+t*v-H=0\)吗？ 对应有三次方程\(u^3+b*u^2+c*u+d=0\)其中\(u_1=v_1+v_2=x+y,u_2=v_2+v_3=y+z,u_3=v_3+v_1=z+x\)。然后讨论\(u^3+b*u^2+c*u+d=0\)的互质解。


\(u^3-2 p*u^2+\left(p^2+t\right)u+(H-p t)=0\)