周长、面积相等的本原三角形

xiaoshuchong

mathe 发表于 2019-11-24 21:00
然后比如使用wayne的上面的数据对于三角形{74,182,192}, 我们有$A=6720, p=224, x=32,y=42,z=150$
得出对 ...

这个问题跟椭圆曲线的关系还有新的解释。

当我们固定周长和面积平方时，椭圆曲线也就确定了。

我们可以观察到整边本原三角形的个数可以跟椭圆曲线的整点个数关联上。

也就是椭圆曲线的整点越多，那么整边本原三角形越多。

听起来像是废话，但似乎不是那么显然，毕竟从椭圆曲线的有理点到三角形的边

需要经过一个有理变换。

以@lsr314得到的结果为例，周长面积分别为$ l=16462,S^{2}=87734229\times840^{2}$，

椭圆曲线和三边分别为

\[\begin{eqnarray*}
y^{2}+xy&=&x^{3}-64671862256890x+199306134745990960100\\a&=&4115x-y-26995702790\\b&=&4116x+y-26995702790\\c&=&8231x-38949424780
\end{eqnarray*}\]
该曲线一共有184个整点（以下仅一部分），秩为6
[[-15839586, 477622593], [-15839586, -461783007], [-15688386, 9197024193],
[-15688386, -9181335807], [-15624126, 10943161173], [-15624126, -10927537047],
[-15543186, 12786407793], [-15543186, -12770864607], [-15482538, 13995090513],
[-15482538, -13979607975], [-15207136, 18399967943], [-15207136, -18384760807],
[-14629966, 24804485513], [-14629966, -24789855547],
...
[11905278, 20771158401], [11905278, -20783063679], [12636414, 24978372993],
[12636414, -24991009407], [13355244, 29200164273], [13355244, -29213519517],
[13764114, 31639829193], [13764114, -31653593307], [14229054, 34447908033],
[14229054, -34462137087], [14356734, 35225351553], [14356734, -35239708287],
[15413454, 41763478113], [15413454, -41778891567], [17037054, 52165526913],
[17037054, -52182563967], [17318574, 54012447153], [17318574, -54029765727],
[19249614, 67018442193], [19249614, -67037691807], [19749828, 70481999931],
[19749828, -70501749759]]

当边长和面积为$l=21926,S^{2}=98090\times47880^{2}$时，

对应的曲线$y^{2}+xy=x^{3}-188502188550795x+988457018648140868337$（秩为6）更是有多达232个整点。

这个问题只能通过穷举得到结果，但是穷举只能在不大的范围内。如果我们想找到更多组本原三角形，

或许通过搜索这样的多整点椭圆曲线是个新的办法。

当然，这样的办法也不会太简单。

有一篇很相关的2020年文章。
2020, Benjamin Jones, Finding Elliptic Curves With Many Integral Points, https://arxiv.org/abs/2012.06233v1

关于椭圆曲线的整点，有些问题需要进一步说明。
1. 根据Siegel定理，椭圆曲线（非退化）的整点数一定是有限个。
2. 只要椭圆曲线秩大于0，那么我们可以构造拥有任意个整点的椭圆曲线。
3. 以上的所有讨论， 我们要求曲线是最小模型（gp中ellminimalmodel命令），这样的话构造一条拥有很多整点的
椭圆曲线就变得不那么容易。

xiaoshuchong

王守恩 发表于 2019-12-2 13:29
周长、面积相等的本原三角形 ：面积是整数解的能再来一个？

找到以下七个

-------------- i = 1 ---------
perimeter = 5642
area = 406224
[1, [868, 1989, 2785]]
[2, [1085, 1768, 2789]]
[3, [325, 2604, 2713]]
[4, [1183, 1669, 2790]]
[5, [310, 2639, 2693]]
-------------- i = 2 ---------
perimeter = 6314
area = 757680
[1, [1312, 1925, 3077]]
[2, [957, 2296, 3061]]
[3, [1517, 1717, 3080]]
[4, [1237, 2002, 3075]]
[5, [533, 2849, 2932]]
-------------- i = 3 ---------
perimeter = 40326
area = 53633580
[1, [7003, 15470, 17853]]
[2, [8151, 13912, 18263]]
[3, [7528, 14703, 18095]]
[4, [7238, 15109, 17979]]
[5, [8250, 13793, 18283]]
-------------- i = 4 ---------
perimeter = 7238
area = 1302840
[1, [1645, 2134, 3459]]
[2, [819, 3196, 3223]]
[3, [1351, 2444, 3443]]
[4, [1363, 2431, 3444]]
[5, [1034, 2809, 3395]]
-------------- i = 5 ---------
perimeter = 21658
area = 12994800
[1, [4704, 6749, 10205]]
[2, [5304, 6125, 10229]]
[3, [2989, 8840, 9829]]
[4, [3329, 8333, 9996]]
[5, [3332, 8329, 9997]]
-------------- i = 6 ---------
perimeter = 9790
area = 1233540
[1, [1925, 3026, 4839]]
[2, [1157, 3815, 4818]]
[3, [534, 4625, 4631]]
[4, [890, 4103, 4797]]
[5, [583, 4490, 4717]]
-------------- i = 7 ---------
perimeter = 3542
area = 318780
[1, [511, 1375, 1656]]
[2, [759, 1096, 1687]]
[3, [583, 1288, 1671]]
[4, [421, 1518, 1603]]
[5, [851, 1001, 1690]]

liyqa

这是咋求出来的呀

liyqa

腻害呀，学习了

ejsoon

正好想研究，就找到了這個帖子。

如果限定周長和面積都是整數呢？

mathe

https://oeis.org/A007237

wayne

xiaoshuchong的答案很不错.
大家 有没有兴趣继续推进一下. 给定 面积和周长都是整数的 整边三角形有哪些,最多有多少个解.

wayne

关于三个边长都是平方数的海伦三角形(三边和面积都是整数)的情况也是存在的. wikipedia上给出了两个解.
$(a,b,c,S)=(1853^2 , 4380^2 , 4427^2 , 32918611718880)$   2013年的,  . https://calhoun.nps.edu/entities ... 1-9652-27e1c1eeb8dd
$(a,b,c,S)=(11789^2 , 68104^2 , 68595^2 , 284239560530875680)$   2018年的,  . https://listserv.nodak.edu/cgi-b ... c96423.1804&S=b
第二个解用GMP/C++ 程序并行搜索了六个多月得到的,机器配置是12-cluster of Intel Corei7 x990 cpus running at 3.47Ghz., 第一个解在程序启动的时候瞬间返回,但一直跑了27K个小时才得到第二个解. , 电费也不少了

mathe

mathe 发表于 2019-11-24 20:07
找周长和面积的平方都是有理数而且相等的多个三角形，wayne已经转化为找三个有理数x,y,z使得
$x+y+z=p, xyz ...

15#给出了如何通过一组解，然后使用它的周长和面积平方，我们得到无穷个有理解具有相同周长和面积的方案。
那么对于多组有理解，如果转化为多个具有相同周长和面积的平方的整数解，其实也很简单。
由于同时给所有x,y,z乘上相同的整数，它们还是保持相同周长和面积的特性，所以我们只要乘上所有分母的最小公倍数，就可以将所有的x,y,z都转化为整数了。

wayne

mathe 发表于 2019-11-24 21:00
然后比如使用wayne的上面的数据对于三角形{74,182,192}, 我们有$A=6720, p=224, x=32,y=42,z=150$
得出对应 ...

我就拿这个练练手，复现一下。
椭圆曲线$y^2 == x^3 + 1/3600*x^2 + 1/90316800*x + 1/9063471513600$可以通过$261 + 2822400 x = X, 4741632000 y = Y$变换成最小模型$15087708 - 116685 X + X^2 + X^3 - Y^2=0$
然后得知该曲线的秩为3，三个生成元是$(-369 : 2835 : 1), (-267 : 5223 : 1), (171 : -405 : 1)$，扰点$(0 : 1 : 0), (261 : -1575 : 1), (261 : 1575 : 1)$,  通过遍历三个扰点和生成元，$T+n*p$求得几个有理解后，再逆代换回去。
然后再除以最大公因子，并且扔弃负数解(我就不扔了，贴出来玩玩)，得到新的解如下， 可惜膨胀的太厉害，不如预期的效果。
给出的数据格式是 (a,b,c,a+b+c,A)

1. {21, 41, 50, 112, 420}
   
2. {26, 35, 51, 112, 420}
   
3. {1856, 3597, 4403, 9856, 3252480}
   
4. {-8435, 13683, 21632, 26880, 24192000}
   
5. {-4901, 21189, 22688, 38976, 50863680}
   
6. {5162543849, 7940626050, 10864616069, 23967785968, 19233976480173806820}
   
7. {4591915019, 10042124219, 11518069290, 26152108528, 22899535060054363620}
   
8. {-1459667778459, 6407174823296, 6794496252187, 11742003297024, 4616338440646958248903680}
   
9. {-35802209300610880, 21109227151165231, 56747139733823889, 42054157584378240, 59214916410660195742810961568000}
   
10. {-17592219570774784, 77652379665386769, 82034485341130735, 142094645435742720, 676034205184467837366311987712000}
    
11. {190673911803477085018354850, 444119307518644134889791749, 489400980886564117255629129, 1124194200208685337163775728, 42315154010586351273638565300800690457824436196939620}
    
12. {231290028211809941286920315, 565296911137261721207090859, 599831948619283953206348234, 1396418887968355615700359408, 65289700134200186790090529637179685758937114075026020}
    
13. {40322757560734322294451790907, 63716764450117376144393867328, 86077501443413282548156425221, 190117023454264980987002083456, 1210194730148756949212864348907117433673084414279624628480}
    
14. {-12968450366346937505346826660786932192, 38604853858030729132389858726284077669, 48373587295003880047194250473153367739, 74009990786687671674237282538650513216, 183397725543937300658861445564440445911311884870654914714270531647104598080}
    
15. {-18634125108132390687531232869909392813, 50387761529862671609101558887210015533, 65384770998366555314208720023982222720, 97138407420096836235779046041282845440, 315933153887702815575276485095001190221380051773864894298713408737374848000}
    
16. {-301951672571024861113865750556996005457276105764465, 148084052312921407319711989338611875057516110086001, 449183825689829439027283001419673333000652196630784, 295316205431725985233129240201289202600892200952320, 2920033298792189206615676159835015187831434038871862133261315873236148546990079336917521898936832000}
    
17. {2769407637469166397055098192066576507132339514984850, 3233954254558049513001914663886260904382047200068181, 5044782884003323341586457332878108858382300188331401, 11048144776030539251643470188830946269896686903384432, 4086880680540096908136711221262711440438204469508612808758369930738791904891318991814829610093838614820}
    
18. {3488767327365464175375261607075431888341427091968506, 5809668832508973567856312027700552667720743588258931, 7656139116978287919448021692848841969291941514712835, 16954575276852725662679595327624826525354112194940272, 9624697192582556218261724556651507663510919403330150940085667025868408419649305432563672450847242659620}
    
19. {-6538822588976945686040175328805807938527730203825584927653918053055, 2961705143582609949067224624392412415136249907452212978899692460544, 9485609889293536491150541604992867234249830577520476858042683305151, 5908492443899200754177590900579471710858350281147104909288457712640, 1168871081237074217792576619252866990240572295284446910090607782526417913416627353209851348487136374727871245844856647929737750528000}
    
20. {-2637345899773317966649311295886225710520008442065824092940504409599, 4012093332014916064446962767437790722327759223722782075949436634239, 6519197850628214578692045203979805253093044262817945884084439424640, 7893945282869812676489696675531370264900795044474903867093371649280, 2086418709674416301529771458003104688136218809048330916903872570254365405808567425208413837135821856138280105143008854790488861312000}
    
21. {12418849003765673574192371640427851651839120004154992642508711835273785493838773, 28207696398741559000479255631894864347702438310352619902101387739390671360635531, 31610969699226998033291722544587796393042214433625768625060504870699367216649792, 72237515101734230607963349816910512392583772748133381169670604445363824071124096, 174718479511382177325745877715164319594020456927303300654715882324171496132742968997958650497766052310723333895167658813633272775920193497873083189671150618880}

复制代码