多项式方程解的变形
一般二次多项式方程$ax^2+bx+c=0$的解 为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
移项，变形得到
$(2ax+b)^2=b^2-4ac=\Delta$
一般的 三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的根为
$x=-\frac{b}{3 a}-\frac{2^{1/3}(3 a c-b^2)}{3 a (-2 b^3 + 9 a b c - 27 a^2 d + \sqrt{(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3)^2+4(3 a c-b^2)^3})^{1/3}}+\frac{(-2 b^3 + 9 a b c - 27 a^2 d + \sqrt{(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3)^2+4(3 a c-b^2)^3})^{1/3}}{3\times2^(1/3)a}$
能否将其化为 左边为关于x和系数的多项式的平方，而右边为根的判别式$\Delta$的形式
补充内容 (2020-2-9 08:07):
假设f(x)=0的三个根 等于 $x_1,x_2,x_3$,则$\Delta=(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2$运用这个结果怎样得到其系数关系式
本帖最后由 wsc810 于 2020-2-12 22:07 编辑
若上面的三次方程太复杂，考虑如下经典方程吧
$x^3+px+q=0$
本帖最后由 wsc810 于 2020-2-13 16:18 编辑
$(x-(u+v))(x^2+(u+v)x+(u^2-uv+v^2))$
$=x^3-3uvx-u^3-v^3$
$=x^3+px+q$
可得
$uv=-p/3$ $u^3+v^3=-q$
$u=\root 3 {-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$
$v=\root 3 {-q/2-\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$
问题能否将u+v和u-v再次化简
$(x_2-x_3)^2=(u+v)^2-4(u^2-uv+v^2)$
$=-3(u-v)^2$
$(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2$
$=(u+v-(u\omega+v\omega^2)^2(u+v-(u\omega^2+v\omega))^2$
$=(u(1-\omega)+v(1-\overline\omega))^2(u(1-\overline\omega)+v(1-\omega))$
$1-\omega=i\sqrt 3\overline\omega$
$1-\overline\omega=-i\sqrt 3\omega$
$=(i\sqrt3(u\overline\omega-v\omega))^2(-i\sqrt3(u\omega-v\overline\omega))^2$
$=9((u\overline\omega-v\omega)(u\omega-v\overline\omega))^2$
$=9((u^2-uv\omega-uv\overline\omega+v^2))^2$
$=9(u^2+uv+v^2)^2$
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