多项式方程解的变形

wsc810

一般二次多项式方程  $ax^2+bx+c=0$

的解 为   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$   

  移项，变形得到

                $(2ax+b)^2=b^2-4ac=\Delta$

一般的 三次方程  $ax^3+bx^2+cx+d=0$  的根为

$x=-\frac{b}{3 a}-\frac{2^{1/3}(3 a c-b^2)}{3 a (-2 b^3 + 9 a b c - 27 a^2 d + \sqrt{(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3)^2+4(3 a c-b^2)^3})^{1/3}}+\frac{(-2 b^3 + 9 a b c - 27 a^2 d + \sqrt{(-27 a^2 d+9 a b c-2 b^3)^2+4(3 a c-b^2)^3})^{1/3}}{3\times2^(1/3)a}$
     
               

能否将其化为 左边为关于x和系数的多项式的平方，而右边为根的判别式$\Delta$的形式

补充内容 (2020-2-9 08:07):
假设  f(x)=0的三个根 等于 $x_1,x_2,x_3$,则$\Delta=(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2(x_3-x_1)^2$  运用这个结果怎样得到其系数关系式

wsc810

若上面的三次方程太复杂，考虑如下经典方程吧

$x^3+px+q=0$

wsc810

$(x-(u+v))(x^2+(u+v)x+(u^2-uv+v^2))$

$=x^3-3uvx-u^3-v^3$

$=x^3+px+q$

可得

$uv=-p/3$       $u^3+v^3=-q$


$u=\root 3 {-q/2+\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$

$v=\root 3 {-q/2-\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}$

问题  能否将  u+v  和  u-v再次化简

$(x_2-x_3)^2=(u+v)^2-4(u^2-uv+v^2)$

                    $=-3(u-v)^2$

$(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2$

$=(u+v-(u\omega+v\omega^2)^2(u+v-(u\omega^2+v\omega))^2$

$=(u(1-\omega)+v(1-\overline\omega))^2(u(1-\overline\omega)+v(1-\omega))$


$1-\omega=i\sqrt 3\overline\omega$

$1-\overline\omega=-i\sqrt 3\omega$

$=(i\sqrt3(u\overline\omega-v\omega))^2(-i\sqrt3(u\omega-v\overline\omega))^2$

$=9((u\overline\omega-v\omega)(u\omega-v\overline\omega))^2$

$=9((u^2-uv\omega-uv\overline\omega+v^2))^2$

$=9(u^2+uv+v^2)^2$