二次曲线的切线方程有通用公式吗？
我们知道椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$在其上一点$(x_0,y_0)$处的切线方程是$(x_0 x)/a^2+(y_0y)/b^2=1$,那么对于具有一般方程\[
ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0
\]的二次曲线在其上一点$(x_0,y_0)$处的切线方程是什么呢，有没有通用的切线方程？ 双曲线的切线方程是
x*x0/a^2-y*y0/b^2=1
其中 x0 y0是双曲线上的点， 平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程：\ hujunhua 发表于 2020-5-26 13:46
平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程：\
利用你的公式，我推导了一下
(*二次曲线的切线方程*)
Clear["Global`*"];
g=a*x*x+b*x*y+c*y*y+d*x+e*y+f
gx=D/.{x->x0,y->y0}
gy=D/.{x->x0,y->y0}
aaa=(gx*(x-x0)+gy*(y-y0))/2//Expand
bbb=aaa+(g/.{x->x0,y->y0})//Expand
得到结果(我自己人肉稍微调整了一下顺序)
\ 二次曲线切线方程有个简便记法：过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 `xx_0`代替（`y^2`仿此），`xy` 用 `\frac{x_0y+xy_0}{2}` 代替， `x` 用 `\frac{x+x_0}{2}` 代替( `y` 仿此)即可。 点 $(x_0,y_0)$ 关于圆锥曲线的极线方程跟切线方程的形式是一样的。 看了3#的通用公式，你是否觉得这是一个很基础的问题？
这么基础的公式，在难题征解栏目多不合适，但我不知道给你移到哪块去合适。
干脆，放一周了删掉吧。 一网友画的，椭圆法向弦中点轨迹的方程？
陈九章 发表于 2020-5-26 18:46
一网友画的，椭圆法向弦中点轨迹的方程？
\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4},y=\frac{b^3 \left(a^2-b^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4}\right\}\)
或
\(\left\{x=\frac{a^2 \left(a^2-b^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}},y=\frac{b^2 \left(b^2-a^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}}\right\}\)
chyanog 发表于 2020-5-26 22:19
\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \c ...
写一下，如何推导出来的？