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[求助] 二次曲线的切线方程有通用公式吗?

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发表于 2020-5-26 12:36:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
曲线F
a*x*x+b*x*y+c*y*y+d*x+e*y+f=0,这个曲线的切线方程是?

已知椭圆的切线方程是
x*x0/a^2+y*y0/b^2=1
其中 x0 y0是椭圆上的点,

那么已知x0 y0是曲线F上的点,
那么有没有通用的切线的方程呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-5-26 12:39:23 | 显示全部楼层
双曲线的切线方程是
x*x0/a^2-y*y0/b^2=1
其中 x0 y0是双曲线上的点,
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发表于 2020-5-26 13:46:48 | 显示全部楼层
平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程:\[F'_x(a,b)(x-a)+F'_y(a,b)(y-b)=0\]
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 楼主| 发表于 2020-5-26 14:23:07 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-26 13:46
平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程:\[F'_x(a,b)(x-a)+F'_y(a,b)(y-b)=0\]

利用你的公式,我推导了一下
  1. (*二次曲线的切线方程*)
  2. Clear["Global`*"];
  3. g=a*x*x+b*x*y+c*y*y+d*x+e*y+f
  4. gx=D[g,x]/.{x->x0,y->y0}
  5. gy=D[g,y]/.{x->x0,y->y0}
  6. aaa=(gx*(x-x0)+gy*(y-y0))/2//Expand
  7. bbb=aaa+(g/.{x->x0,y->y0})//Expand
复制代码


得到结果(我自己人肉稍微调整了一下顺序)
\[a x \text{x0}+\left(\frac{b x \text{y0}}{2}+\frac{b \text{x0} y}{2}\right)+c y \text{y0}+\left(\frac{d x}{2}+\frac{d \text{x0}}{2}\right)+\left(\frac{e y}{2}+\frac{e \text{y0}}{2}\right)+f=0\]
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发表于 2020-5-26 14:26:58 | 显示全部楼层
二次曲线切线方程有个简便记法:过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 `xx_0`代替(`y^2`仿此),`xy` 用 `\frac{x_0y+xy_0}{2}` 代替, `x` 用 `\frac{x+x_0}{2}` 代替( `y` 仿此)即可。

点评

我猜测应该存在这样的公式,只不过我不知道xy这项是怎么变,所以到论坛上问一下  发表于 2020-5-26 14:37
我已经用上面的人的思想推导出来了  发表于 2020-5-26 14:34
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发表于 2020-5-26 14:57:13 | 显示全部楼层
点 $(x_0,y_0)$ 关于圆锥曲线的极线方程跟切线方程的形式是一样的。

点评

第一次听说极线的概念!  发表于 2020-5-26 15:31
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发表于 2020-5-26 17:59:42 | 显示全部楼层
看了3#的通用公式,你是否觉得这是一个很基础的问题?
这么基础的公式,在难题征解栏目多不合适,但我不知道给你移到哪块去合适。
干脆,放一周了删掉吧。

点评

别删除,我当然知道如何求切线,我起初的思路是隐函数求导数,还是你这个思路好!  发表于 2020-5-26 18:46
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发表于 2020-5-26 18:46:22 | 显示全部楼层
一网友画的,椭圆法向弦中点轨迹的方程?
fx.png

点评

请你和其他老师推导法线弦中点轨迹方程  发表于 2020-5-26 19:00
请你和其他老师s推导法线弦中点轨迹方程  发表于 2020-5-26 18:59
没人看懂你写的啥问题  发表于 2020-5-26 18:47
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发表于 2020-5-26 22:19:18 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2020-5-26 18:46
一网友画的,椭圆法向弦中点轨迹的方程?

\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4},y=\frac{b^3 \left(a^2-b^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4}\right\}\)

\(\left\{x=\frac{a^2 \left(a^2-b^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}},y=\frac{b^2 \left(b^2-a^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}}\right\}\)

点评

谢谢老师的赐教!请问:如何消参,变成直角坐标方程和极坐标方程?  发表于 2020-5-27 07:07
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 楼主| 发表于 2020-5-27 07:49:17 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2020-5-26 22:19
\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \c ...

写一下,如何推导出来的?
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