二次曲线的切线方程有通用公式吗？

mathematica

熟知椭圆或者双曲线 $x^2/a^2±y^2/b^2=1$在其上一点$(x_0,y_0)$处的切线方程是$(x_0 x)/a^2±(y_0y)/b^2=1$,

那么对于一般方程 \(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0\) 的二次曲线呢？

hujunhua

平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程：\[F'_x(a,b)(x-a)+F'_y(a,b)(y-b)=0\]

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-26 13:46
平面曲线F(x,y)=0在点(a,b)处的切线方程：\[F'_x(a,b)（x-a)+F'_y(a,b)(y-b)=0\]

利用你的公式，我推导了一下，结果是
\[a x_0x+b(xy_0+x_0y)+c y_0 y+d(x+x_0)+e(y+y_0)+f=0\]

kastin

二次曲线切线方程有个简便记法：过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 `xx_0`代替（`y^2`仿此），`xy` 用 `\frac{x_0y+xy_0}{2}` 代替， `x` 用 `\frac{x+x_0}{2}` 代替( `y` 仿此)即可。

hejoseph

点 $(x_0,y_0)$ 关于圆锥曲线的极线方程跟切线方程的形式是一样的。

hujunhua

看了3#的通用公式，你是否觉得这是一个很基础的问题？
这么基础的公式，在难题征解栏目多不合适，但我不知道给你移到哪块去合适。
干脆，放一周了删掉吧。

陈九章

一网友画的，椭圆法向弦中点轨迹的方程？

chyanog

陈九章 发表于 2020-5-26 18:46
一网友画的，椭圆法向弦中点轨迹的方程？

\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4},y=\frac{b^3 \left(a^2-b^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \cos ^2(\theta )-a^4}\right\}\)
或
\(\left\{x=\frac{a^2 \left(a^2-b^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}},y=\frac{b^2 \left(b^2-a^2\right) \sin (\theta ) \cos ^2(\theta )}{\left(a^2 \sin ^2(\theta )+b^2 \cos ^2(\theta )\right) \sqrt{a^2 \cos ^2(\theta )+b^2 \sin ^2(\theta )}}\right\}\)

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-26 22:19
\(\left\{x=\frac{a^3 \left(b^2-a^2\right) \sin ^2(\theta ) \cos (\theta )}{\left(a^4-b^4\right) \c ...

写一下，如何推导出来的？

hejoseph

法向弦中点用这个结论就能立即得到参数结论：
点 $(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ 上的一点，则该二次曲线与直线 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 的另一交点是\[
\left(\frac{-ax_0 - by_0 - d - (2cy_0 + e)k + cx_0k^2}{a + bk + ck^2},\frac{ay_0 - (2ax_0 + d)k - (bx_0 + cy_0 +e)k^2}{a + bk + ck^2}\right)
\]