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楼主: mathematica

[原创] 二次曲线的切线方程有通用公式吗?

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发表于 2020-5-27 14:28:03 | 显示全部楼层
法向弦中点用这个结论就能立即得到参数结论:
点 $(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ 上的一点,则该二次曲线与直线 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 的另一交点是\[
\left(\frac{-ax_0 - by_0 - d - (2cy_0 + e)k + cx_0k^2}{a + bk + ck^2},\frac{ay_0 - (2ax_0 + d)k - (bx_0 + cy_0 +e)k^2}{a + bk + ck^2}\right)
\]

点评

表达式太丑了,能不能进化一下  发表于 2020-12-25 15:28

评分

参与人数 1威望 +1 贡献 +1 经验 +1 收起 理由
葡萄糖 + 1 + 1 + 1 结论挺漂亮的

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-12-24 14:14:36 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2020-5-26 14:26
二次曲线切线方程有个简便记法:过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 ` ...

要分三种情况替代,有没有只用一种办法就替代的呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-12-24 22:16:23 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-12-24 14:14
要分三种情况替代,有没有只用一种办法就替代的呢?

有哇,1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0
\]4#的切线方程亦可以写作对称矩阵形式\[
(x_0,y_0,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0
\]

点评

我对你的敬仰之情犹如滔滔江水连绵不绝,又如黄河泛滥一发而不可收拾  发表于 2020-12-25 15:20
为什么我就发现不了?  发表于 2020-12-25 15:07
你是怎么发现的  发表于 2020-12-25 15:07
为什么你那么聪明  发表于 2020-12-25 15:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-12-25 09:11:36 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-12-24 22:16
有哇,1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pm ...

很棒,根据我的检验,你的回答是正确的。

  1. Clear["Global`*"];
  2. aa=({{x,y,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x},{y},{1}})[[1,1]]//Expand
  3. bb=({{x0,y0,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x},{y},{1}})[[1,1]]//Expand
  4. cc=({{x,y,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x0},{y0},{1}})[[1,1]]//Expand
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-12-25 09:12:10 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-12-24 22:16
有哇,1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pm ...

你真聪明,你怎么知道这个表达式的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-1-1 11:59:16 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-12-25 09:12
你真聪明,你怎么知道这个表达式的?

了解一下线性代数中的二次型,二次曲面降维就是二次曲线。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-1-5 15:57:07 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-1-1 11:59
了解一下线性代数中的二次型,二次曲面降维就是二次曲线。

我知道二次型呀,你以为我不知道吗?
但是这个切线表达式确实不知道!

点评

如果知道二次型,看到5楼的内容,不难想到切线的矩阵表达式。  发表于 2021-1-5 19:34
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 楼主| 发表于 2021-1-5 20:41:10 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-1-1 11:59
了解一下线性代数中的二次型,二次曲面降维就是二次曲线。

那你为什么没想到矩阵表达式呢?既然你知道了五楼的

点评

想到了啊,但我觉得那个不如5楼的简单,因为矩阵表达乘上不还是5楼的结果吗?所以就在5楼给出了我认为最容易记忆而且高中生都能理解的方法。这就类似记数字1234321,你是记忆这个数本身,还是记它的质因数分解?  发表于 2021-1-6 09:51
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-6 10:20:05 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-1-5 20:41
那你为什么没想到矩阵表达式呢?既然你知道了五楼的


这么说吧,对于一般的二次曲线代数表达式 `F(x_1, x_2,\cdots,x_n)=0`,你要给出其二次型对应的对称矩阵 `A`(即二阶对称张量 `\D\frac{\partial F}{\partial x_i\partial x_j}`),然后再把切点代入矩阵表达式,进行乘法运算,得到5楼给的结果,从计算的角度来看,多余的两步过程可以省略。

但矩阵表达也不是没有优点,矩阵表达通常便于编程和理论分析。比如编程计算维度非常高的情形,尤其是数值计算,用矩阵表达式反而更方便。但你提的问题是还用不到这些优点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-1-6 12:58:05 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-1-6 10:20
这么说吧,对于一般的二次曲线代数表达式 `F(x_1, x_2,\cdots,x_n)=0`,你要先给出其二次型对应的对称 ...

为什么我感觉你们都比我棒?
你去当力学老师了吗?
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