二次曲线的切线方程有通用公式吗？

mathematica

kastin 发表于 2020-5-26 14:26
二次曲线切线方程有个简便记法：过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 ` ...

要分三种情况替代，有没有只用一种办法就替代的呢？

hujunhua

mathematica 发表于 2020-12-24 14:14
要分三种情况替代，有没有只用一种办法就替代的呢？

有哇，1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0
\]4#的切线方程亦可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\1\end{pmatrix}=0
\]

mathematica

我现在越来越理解为什么学术成果要公开了，
学术成果用期刊公开后，类似于众人拾柴火焰高，
你有一个想法，然后我在你的想法上继续深刻地思考，这样容易推动进步。
尤其是类似于费马大定理这样的问题，大家不断把自己的想法堆积起来，这样更容易发展攻克问题。

nyy

如果是在二次曲线外一点(x0,y0)，做二次曲线的切线，这个切线有没有通用表达式呢？

hujunhua

设二次曲线 `Ω` 的系数对称矩阵为`A`, 记`X=(x,y,1)`, 则二次曲线 `Ω` 的方程可以表成\[
XAX=0\tag{1}
\]特别说明：本帖不在表达上区分行向量和列向量，向量和矩阵的相乘，请仿Mathematica那样自动匹配维度和长度。

设曲线外一点 `P(x_P,y_P,1)` 引向二次曲线`Ω`的两切点为$T_{1,2}$, 连线$T_1T_2$即为 `P`关于`Ω`的极线, 直线方程为\[
XAP=0\tag2
\]切线`PT_{1,2}` 的直线方程为\[XAT_{1,2}=0\tag3
\]方程(3)就是我们要求的，但我们不打算采用楼上@mathe所评述通过先求出切点`T_{1,2}`的途径。

如图，`O`是椭圆的中心, `M`是弦`T_1T_2`的中点 $(T_1+T_2)/2$，则连线`OP`是无穷远点`T_1-T_2`关于`Ω`的极线，而`M`关于`Ω`的极线是直线`T_1T_2`的平行线之过`P`者，所以有\[\begin{cases}
XAT_1-XAT_2=kX·(O×P)\\
XAT_1+XAT_2=XAP-PAP\end{cases}\tag{4}
\]系数`k`待定。由此可得到切线方程的显式公式\[
PT_{1,2}: X(AP±kO×P)-PAP=0\tag5
\]貌似系数`k=1`. 剩下的问题就是求出`Ω`的中心`O`.
`O`是无穷远线`l_∞=[0,0,1]`关于`Ω`的极点，所以 \[
O=\frac{|A|}{|D|}A^{-1}l_∞\tag{6}
\]系数$(|A|)/(|D|)$旨在使`O=(x_O,y_O,1)`, `D`是`Ω`二次项系数对称矩阵。
如果记`A`的列向量表示为`(a_1,a_2,a_3)`，则\[\det(a_1,a_2,O)=0\\O=\frac{a_1×a_2}{|D|}\tag{6'}\]

hujunhua

让我们用上述方法实际计算一例。
求椭圆 `x^2-2xy+2y^2-6y+4=0`的通过点` (1,0)`的切线方程。
答案是`x+y-1=0, 2x-3y-2=0`.



按上述方法，`A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-3\\0&-3&4\end{pmatrix}，P=(1,0,1)`,

则`|A|=-5, |D|=1, O=(1,-1,0)×(-1,2,-3)=(3,3,1)`
`O×P=(3,3,1)×(1,0,1)=(3,-2,-3), AP=(1,-4,4),PAP=5`
\[X·(O×P)=3x-2y-3,\\
XAP-PAP=x-4y-1
\]解得 \[\begin{split}&PT_{1,2}: (x-4y-1)±(3x-2y-3)=0,\\→&PT_{1,2}: x+y-1=0,2x-3y-2=0.\end{split}\]
在此例中，(5)的系数`k`取1。

hujunhua

对于抛物线，`|D|=0`, 中心 `O` 是个无穷远点，`z`坐标不需要归一化，其公式为\[
O=a_1×a_2\]
系数`k`不知道会怎么样。

hujunhua

再做一例 `|D|≠1`的试试。`x^2-2 x y+3 y^2-6 x-2 y+5=0` 过点 `(2,-1)`的切线。

`A=\begin{pmatrix}1&-1&-3\\-1&3&-1\\-3&-1&5\end{pmatrix},D=2,P=(2,-1,1)`

`O=\frac{(1,-1,-3)×(-1,3,-1)}2=(5,2,1),O×P=(3,-3,-9)`

`AP=(0,-6,0),PAP=6`

切线方程：`XAP±X·(O×P)-PAP=0→-6y±(3x-3y-9)-6=0`,即`x-3y-5=0` 和 `x+y-1=0`.

依然`k=1`.

hujunhua

15#的方程(5)中`k=1`不变肯定是有问题的，因为它对A是非齐次的。而A是可带一个不定系数的，X，P，O都不受A的不定系数的影响。

不知道16#和18#取`k=1`为什么结果是正确的，怎么这么巧？

mathe

k=1肯定是巧合，我们可以将矩阵A乘上任意常数，并不会改变O,P的值，那么k就要调整。
倒是方程中k最后应该如何计算方便呢？