二次曲线的切线方程有通用公式吗？

hejoseph

法向弦中点用这个结论就能立即得到参数结论：
点 $(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ 上的一点，则该二次曲线与直线 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 的另一交点是\[
\left(\frac{-ax_0 - by_0 - d - (2cy_0 + e)k + cx_0k^2}{a + bk + ck^2},\frac{ay_0 - (2ax_0 + d)k - (bx_0 + cy_0 +e)k^2}{a + bk + ck^2}\right)
\]

mathematica

kastin 发表于 2020-5-26 14:26
二次曲线切线方程有个简便记法：过切点 `(x_0,y_0)` 的二次曲线切线方程只需将二次曲线方程中的 `x^2` 用 ` ...

要分三种情况替代，有没有只用一种办法就替代的呢？

hujunhua

mathematica 发表于 2020-12-24 14:14
要分三种情况替代，有没有只用一种办法就替代的呢？

有哇，1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0
\]4#的切线方程亦可以写作对称矩阵形式\[
(x_0,y_0,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0
\]

mathematica

hujunhua 发表于 2020-12-24 22:16
有哇，1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pm ...

很棒，根据我的检验，你的回答是正确的。

1. Clear["Global`*"];
   
2. aa=({{x,y,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x},{y},{1}})[[1,1]]//Expand
   
3. bb=({{x0,y0,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x},{y},{1}})[[1,1]]//Expand
   
4. cc=({{x,y,1}}.{{a,b/2,d/2},{b/2,c,e/2},{d/2,e/2,f}}.{{x0},{y0},{1}})[[1,1]]//Expand
   

复制代码

mathematica

hujunhua 发表于 2020-12-24 22:16
有哇，1#的二次曲线一般方程可以写作对称矩阵形式\[
(x,y,1)\begin{pmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{pm ...

你真聪明，你怎么知道这个表达式的？

kastin

mathematica 发表于 2020-12-25 09:12
你真聪明，你怎么知道这个表达式的？

了解一下线性代数中的二次型，二次曲面降维就是二次曲线。

mathematica

kastin 发表于 2021-1-1 11:59
了解一下线性代数中的二次型，二次曲面降维就是二次曲线。

我知道二次型呀，你以为我不知道吗？
但是这个切线表达式确实不知道！

mathematica

kastin 发表于 2021-1-1 11:59
了解一下线性代数中的二次型，二次曲面降维就是二次曲线。

那你为什么没想到矩阵表达式呢？既然你知道了五楼的

kastin

mathematica 发表于 2021-1-5 20:41
那你为什么没想到矩阵表达式呢？既然你知道了五楼的

这么说吧，对于一般的二次曲线代数表达式 `F(x_1, x_2,\cdots,x_n)=0`，你要先给出其二次型对应的对称矩阵 `A`（即二阶对称张量 `\D\frac{\partial F}{\partial x_i\partial x_j}`），然后再把切点代入矩阵表达式，再进行乘法运算，才得到5楼给的结果，从计算的角度来看，多余的两步过程可以省略。

但矩阵表达也不是没有优点，矩阵表达通常便于编程和理论分析。比如编程计算维度非常高的情形，尤其是数值计算，用矩阵表达式反而更方便。但你提的问题是还用不到这些优点。

mathematica

kastin 发表于 2021-1-6 10:20
这么说吧，对于一般的二次曲线代数表达式 `F(x_1, x_2,\cdots,x_n)=0`，你要先给出其二次型对应的对称 ...

为什么我感觉你们都比我棒？
你去当力学老师了吗？