一个正整数乘上5再加上2不可能是这个正整数倒过来写？
我们定义函数Reverse(n)，表示把正整数n的各位数字从右往左写形成的正整数，比如Reverse(1231)=1321，等等。问题：对于任意的正整数n，5n+2都一定不等于Reverse(n)？
我选择5和2，是因为十进制的关系，这两个数正好是10的因子分解，我用excel试了下似乎是对的，但不知道怎么证明。 一些基本分析：
设：\( \displaystyle n = \sum_{i=0}^k 10^i a_i \)
则：\( \displaystyle \text{Reverse}(n) = \sum_{i=0}^k 10^{k-i} a_i \)
\( \displaystyle \text{Reverse}(n) - n= \sum_{i=0}^k (10^{k-i}-10^i) a_i \) 必为9的倍数。
又：\( 5n+2-n=4n+2 \) 必为偶数且非4的倍数。
所以只要确保 \( \text{Reverse}(n) - n \) 是18的倍数又不是36的倍数是最基本的要求。
其他留给楼下的大神们继续分析。。。:P 很显然如果存在，那么Reverse(n)=5n+2的末位只能是2或7，于是n无前导0，并且首位必须是2或7. 由此5n+2的位数必须比n多一位，于是不可能 5n+2=Reverse(n)所以n是以1开头的，否则会发生进位，所以Reverse(n)的末尾是1，但是5n+2的末尾是2或者7，所以不可能相等。 在10^7以内搜了一下Reverse(n)=2n+5者, 得13，193，1993，19993，199993，1999993.
形如19…9…93的显然都符合。来来来，试证一下只有这种形式的解。
2n+5是个奇数，所以n无前导0，首位必须是1或者3，容易排除3，易得n的首末位必须是1，3，……
页:
[1]