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[讨论] 一个正整数乘上5再加上2不可能是这个正整数倒过来写?

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发表于 2020-6-11 02:16:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我们定义函数Reverse(n),表示把正整数n的各位数字从右往左写形成的正整数,比如Reverse(1231)=1321,等等。
问题:对于任意的正整数n,5n+2都一定不等于Reverse(n)?
我选择5和2,是因为十进制的关系,这两个数正好是10的因子分解,我用excel试了下似乎是对的,但不知道怎么证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-6-11 07:24:24 | 显示全部楼层
一些基本分析:

设:\( \displaystyle n = \sum_{i=0}^k 10^i a_i \)
则:\( \displaystyle \text{Reverse}(n) = \sum_{i=0}^k 10^{k-i} a_i \)
\( \displaystyle \text{Reverse}(n) - n= \sum_{i=0}^k (10^{k-i}-10^i) a_i \) 必为9的倍数。

又:\( 5n+2-n=4n+2 \) 必为偶数且非4的倍数。

所以只要确保 \( \text{Reverse}(n) - n \) 是18的倍数又不是36的倍数是最基本的要求。

其他留给楼下的大神们继续分析。。。
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发表于 2020-6-11 10:48:57 | 显示全部楼层
很显然如果存在,那么Reverse(n)=5n+2的末位只能是2或7,于是n无前导0,并且首位必须是2或7. 由此5n+2的位数必须比n多一位,于是不可能
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发表于 2020-6-11 10:51:37 | 显示全部楼层
5n+2=Reverse(n)所以n是以1开头的,否则会发生进位,所以Reverse(n)的末尾是1,但是5n+2的末尾是2或者7,所以不可能相等。

点评

慢了一步  发表于 2020-6-11 10:52
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发表于 2020-6-12 09:11:42 | 显示全部楼层
在10^7以内搜了一下Reverse(n)=2n+5者, 得13,193,1993,19993,199993,1999993.

形如19…9…93的显然都符合。来来来,试证一下只有这种形式的解。

2n+5是个奇数,所以n无前导0,首位必须是1或者3,容易排除3,易得n的首末位必须是1,3,……

点评

不错,19...9...93是所有符合条件的结果。首先容易判断结果必然形如1X3, 而如果X是n位,那么必然有2X+1=10^n+Rervers(X), 分析可以知道X的首尾都必须是9,而且去掉首尾的9以后余下的部分满足同样的条件,所以只是全9  发表于 2020-6-12 14:40
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