计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5...
取最值的时候，AECF是平行四边形！！！！！！！！！！！！！
这也许是个很好的突破口！ dlpg070 发表于 2020-6-20 22:35
计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5...
1楼是对的。
三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)
\(=\frac{6\sin(60^\circ)}{\sin(x)}*\frac{5\sin(120^\circ)}{\sin(90^\circ-x)}*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)
\(=\frac{6*5\sin^2(60^\circ)}{\sin(x)\cos(x)}*\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}=\frac{6*5*3\sqrt{2}}{8\sin(2x)}\)
当x=45时，三角形AEF有最小面积=15.90990258
一般地，可以有：
记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)
三角形AEF最小面积\(=\D\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\) 本帖最后由 王守恩 于 2020-6-22 09:01 编辑
王守恩 发表于 2020-6-21 10:08
1楼是对的。
三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)
一般地，可以有：
记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)
三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)
在这里，
交换n,m位置，三角形AEF最小面积不变；
交换B,D位置，三角形AEF最小面积不变。 本帖最后由 王守恩 于 2020-6-22 21:05 编辑
王守恩 发表于 2020-6-22 08:59
一般地，可以有：
记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)
记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)
设：\(AF=x,\ AE=y,\ ∠DAF=u,\ ∠BAE=v\)
根据题意，四边形 ABCD 是确定的，可以有以下2个公式：
公式(1)
\(\D\Minimize\bigg[\frac{xy\sin\theta}{2}, \frac{x}{n}=\frac{\sin D}{\sin(D+u)}, \frac{y}{m}=\frac{\sin B}{\sin(B + v)},\theta+u+v=A\bigg]\)
公式(2)
三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)
公式(1)=公式(2)，您可以找些具体数算算，答案是相通的。
在这里，
交换n,m位置，三角形AEF最小面积不变；
交换B,D位置，三角形AEF最小面积不变。
你看得懂吗？我真不知道怎么发上来。
Table/180 ])/2,
x/5 == Sin/180]/Sin/180 + u],
y/6 == Sin/180]/Sin/180 + v],
60 \/180 + u + v == k \/180, 0 < u < \, 0 < v < \,
0 < x, 0 < y}, {u, v, x, y}], {k, 110, 150}]
Table/180] 6 Sin/180] 5 Sin/180])/(
2 Sin[(60 \/180 - k \/180 - 75 \/180 - 120 \/180)/
2]^2), 50], {k, 110, 150}]
一楼的图已经给出了辅助线了，黄色直角三角形和目标三角形面积成固定比例。
设左边添加的点为G。于是AG/AF=6/5
所以根据正弦定理，S(AEG)/S(AEF)=6sqrt(2)/5.
而三角形AEG显然在等腰直角三角形时面积最小。
如果要避免正弦定理，可以过F做AE的垂线也可以得出三角AEF这条高为AF的sqrt(2)/2倍 懒得打字
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