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楼主: mathematica

[提问] 这道初中几何题怎么做?

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 楼主| 发表于 2020-6-21 09:14:33 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-6-20 22:35
计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5  ...

取最值的时候,AECF是平行四边形!!!!!!!!!!!!!
这也许是个很好的突破口!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-21 10:08:12 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-6-20 22:35
计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5  ...

1楼是对的。

三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)

\(=\frac{6\sin(60^\circ)}{\sin(x)}*\frac{5\sin(120^\circ)}{\sin(90^\circ-x)}*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)

\(=\frac{6*5\sin^2(60^\circ)}{\sin(x)\cos(x)}*\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}=\frac{6*5*3\sqrt{2}}{8\sin(2x)}\)

当x=45时,三角形AEF有最小面积=15.90990258

一般地,可以有:

记:\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

三角形AEF最小面积\(=\D\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

点评

气宗气宗气宗!  发表于 2020-6-21 17:09
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发表于 2020-6-22 08:59:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-22 09:01 编辑
王守恩 发表于 2020-6-21 10:08
1楼是对的。

三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)


一般地,可以有:

记:\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

在这里,
交换n,m位置,三角形AEF最小面积不变;
交换B,D位置,三角形AEF最小面积不变。

点评

例1 \[Theta =45 其他不变 ,例2 \[Theta =17 其他不变,我不会计算  发表于 2020-6-22 09:54
前部公式推导漂亮,但后部推论缺推导,难免疑问,请给出2个例子,验证你的"一般地"公式  发表于 2020-6-22 09:47
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发表于 2020-6-22 12:45:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-22 21:05 编辑
王守恩 发表于 2020-6-22 08:59
一般地,可以有:

记:\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

记:\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

设:\(AF=x,\ AE=y,\ ∠DAF=u,\ ∠BAE=v\)

根据题意,四边形 ABCD 是确定的,可以有以下2个公式:

公式(1)
\(\D\Minimize\bigg[\frac{xy\sin\theta}{2}, \frac{x}{n}=\frac{\sin D}{\sin(D+u)}, \frac{y}{m}=\frac{\sin B}{\sin(B + v)},\theta+u+v=A\bigg]\)

公式(2)
三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

公式(1)=公式(2),您可以找些具体数算算,答案是相通的。

在这里,
交换n,m位置,三角形AEF最小面积不变;
交换B,D位置,三角形AEF最小面积不变。

你看得懂吗?我真不知道怎么发上来。
Table[NMinimize[{(x y Sin[60 \[Pi]/180 ])/2,
   x/5 == Sin[75 \[Pi]/180]/Sin[75 \[Pi]/180 + u],
   y/6 == Sin[120 \[Pi]/180]/Sin[120 \[Pi]/180 + v],
   60 \[Pi]/180 + u + v == k \[Pi]/180, 0 < u < \[Pi], 0 < v < \[Pi],
   0 < x, 0 < y}, {u, v, x, y}], {k, 110, 150}]
Table[N[(Sin[60 \[Pi]/180] 6 Sin[75 \[Pi]/180] 5 Sin[120 \[Pi]/180])/(
  2 Sin[(60 \[Pi]/180 - k \[Pi]/180 - 75 \[Pi]/180 - 120 \[Pi]/180)/
     2]^2), 50], {k, 110, 150}]






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这是EAF=60 角A=110---150的41个计算实例(不是2个计算实例!)  发表于 2020-6-23 16:56
代码对应的数据与本题不对应,结果 正确 , (EAF>=45度) 对应的角度如下 EAF= 60 k=135 tA=k 110--150 tB= 120 tD= 75  发表于 2020-6-23 15:33
这样传代码可以, 用专门命令更好 ,这是EAF=60 角A=110---150的2个计算实例,代码基本正确,结果没有仔细分析 如果你愿意,我可以整理公式1的通用代码给你  发表于 2020-6-23 11:30
公式1 源于一段很好的代码,改写后已经残缺,不能运行 公式2对于角EAF=45或大一些的数值正常,但对于角EAF=17等小数值不正确,很复杂  发表于 2020-6-22 17:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-6-22 21:22:52 来自手机 | 显示全部楼层
一楼的图已经给出了辅助线了,黄色直角三角形和目标三角形面积成固定比例。
设左边添加的点为G。于是AG/AF=6/5
所以根据正弦定理,S(AEG)/S(AEF)=6sqrt(2)/5.
而三角形AEG显然在等腰直角三角形时面积最小。

如果要避免正弦定理,可以过F做AE的垂线也可以得出三角AEF这条高为AF的sqrt(2)/2倍

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哈哈哈  发表于 2020-6-23 11:57
你真聪明,我看懂了一些  发表于 2020-6-23 09:54
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-23 11:55:26 | 显示全部楼层
懒得打字
QQ图片20200623115018.png
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