这道初中几何题怎么做？

mathematica

dlpg070 发表于 2020-6-20 22:35
计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5  ...

取最值的时候，AECF是平行四边形！！！！！！！！！！！！！
这也许是个很好的突破口！

王守恩

dlpg070 发表于 2020-6-20 22:35
计算结果:
\[ 角AEB=45度 ,面积=\frac{45}{2 \sqrt{2}}=15.9099\text{, AE=}3 \sqrt{6}\text{, AF=}5  ...

1楼是对的。

三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)

\(=\frac{6\sin(60^\circ)}{\sin(x)}*\frac{5\sin(120^\circ)}{\sin(90^\circ-x)}*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)

\(=\frac{6*5\sin^2(60^\circ)}{\sin(x)\cos(x)}*\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}=\frac{6*5*3\sqrt{2}}{8\sin(2x)}\)

当x=45时，三角形AEF有最小面积=15.90990258

一般地，可以有：

记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

三角形AEF最小面积\(=\D\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-6-21 10:08
1楼是对的。

三角形AEF面积\(= AE*AF*\sin(45^\circ)*\frac{1}{2}\)

一般地，可以有：

记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

在这里，
交换n,m位置，三角形AEF最小面积不变；
交换B,D位置，三角形AEF最小面积不变。

王守恩

王守恩 发表于 2020-6-22 08:59
一般地，可以有：

记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

记：\(5=n,6=m,∠EAF=\theta,∠BAD=A,∠ABC=B,∠ADC=D\)

设：\(AF=x,\ AE=y,\ ∠DAF=u,\ ∠BAE=v\)

根据题意，四边形 ABCD 是确定的，可以有以下2个公式：

公式(1)
\(\D\Minimize\bigg[\frac{xy\sin\theta}{2}, \frac{x}{n}=\frac{\sin D}{\sin(D+u)}, \frac{y}{m}=\frac{\sin B}{\sin(B + v)},\theta+u+v=A\bigg]\)

公式(2)
三角形AEF最小面积\(\D=\frac{n*m\sin\theta\ \sin B\ \sin D}{2\sin^2\big(\frac{\theta-A-B-D}{2}\big)}\)

公式(1)=公式(2)，您可以找些具体数算算，答案是相通的。

在这里，
交换n,m位置，三角形AEF最小面积不变；
交换B,D位置，三角形AEF最小面积不变。

你看得懂吗？我真不知道怎么发上来。
Table[NMinimize[{(x y Sin[60 \[Pi]/180 ])/2,
   x/5 == Sin[75 \[Pi]/180]/Sin[75 \[Pi]/180 + u],
   y/6 == Sin[120 \[Pi]/180]/Sin[120 \[Pi]/180 + v],
   60 \[Pi]/180 + u + v == k \[Pi]/180, 0 < u < \[Pi], 0 < v < \[Pi],
   0 < x, 0 < y}, {u, v, x, y}], {k, 110, 150}]
Table[N[(Sin[60 \[Pi]/180] 6 Sin[75 \[Pi]/180] 5 Sin[120 \[Pi]/180])/(
  2 Sin[(60 \[Pi]/180 - k \[Pi]/180 - 75 \[Pi]/180 - 120 \[Pi]/180)/
     2]^2), 50], {k, 110, 150}]

mathe

一楼的图已经给出了辅助线了，黄色直角三角形和目标三角形面积成固定比例。
设左边添加的点为G。于是AG/AF=6/5
所以根据正弦定理，S(AEG)/S(AEF)=6sqrt(2)/5.
而三角形AEG显然在等腰直角三角形时面积最小。

如果要避免正弦定理，可以过F做AE的垂线也可以得出三角AEF这条高为AF的sqrt(2)/2倍

倪举鹏

懒得打字