初中题目，△ABC中，AB=4，AC=3，△BCD为等边三角形，求AD的最大值
初中题目，△ABC中，AB=4，AC=3，△BCD为等边三角形，求AD的最大值题目来自抖音！ Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
(*A(0,0),B(4,0),C(x,y),C点在半径等于3的圆上,D点轨迹好像也是圆*)
(*下面两个无理数,不可能被加减乘除消化掉,同时是实数,用完后替换成符号变量x\y*)
rule={Pi,E}->{x,y};
(*利用复数、向量旋转得到D点坐标，然后求得AD的模的平方*)
aaa=FullSimplify@Norm[((Pi+E*I)-(4+0*I))*(Cos[-60Degree]+Sin[-60Degree]*I)+(4+0*I)]^2
(*把实超越常数替换成变量*)
bbb=aaa/.Thread
(*约数条件点在圆上,求最大值*)
ans=FullSimplify@Maximize[{bbb,x^2+y^2==9},{x,y}]
\[\pi(\pi -4)+e^2+4 e \sqrt{3}+16\]
\[(x-4) x+y^2+4 \sqrt{3} y+16\]
\[\left\{49,\left\{x\to -\frac{3}{2},y\to \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\right\}\]
最后的结果是7 根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD
,不知道有没有比这更简单的办法了! mathematica 发表于 2020-6-23 10:04
根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD
Clear["Global`*"];
(*四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*约数条件为四面体的体积等于零,然后求AD最大值*)
ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun==0&&AD>0&&x>0},{AD,x}]
(*不限制两个变量的范围,mathematica就有bug,求解不出来结果!*)
ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun==0},{AD,x}]
(*用等势线画图的办法,知道是四个不连通的区域,画的图有点问题*)
ContourPlot^2==0,{AD,-10,10},{x,-10,10}]
\[\left\{7,\left\{\text{AD}\to 7,x\to \sqrt{37}\right\}\right\}\]]
此处软件又有bug!又发现了mathematica的bug!
(*不限制两个变量的范围,mathematica就有bug,求解不出来结果!*)
ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun==0},{AD,x}]
本帖最后由 倪举鹏 于 2020-6-23 10:29 编辑
第一次知道托勒密不等式定律 将△BAC旋转60度至△BA'D. AA'=4, A'D=3.
@hujunhua
试试这题
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=17316&fromuid=865 本帖最后由 王守恩 于 2020-6-24 08:09 编辑
mathematica 发表于 2020-6-23 10:04
根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD
根据题意，可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。
\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\circ-\theta)}=\frac{4}{\sin(\theta)}\)
更 AD=AB+AC 因为恒有
\(\sin(60^\circ+\theta)\)
\(=\sin60^\circ\cos\theta+\cos60^\circ\sin\theta\)
\(=\sin60^\circ\cos\theta-\cos60^\circ\sin\theta+\sin\theta\)
\(=(\sin60^\circ-\theta)+\sin\theta\) 王守恩 发表于 2020-6-24 06:35
根据题意，可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。
\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\ci ...
回到起点。
1，余弦定理。
已知：\(\D\frac{3}{\sin(x)}=\frac{4}{\sin(y)}\)
求：\(\sqrt{4^2+3^2+4^2+2*3*4\cos(x+y)-2*4\cos(60^\circ+x)\sqrt{3^2+4^2+2*3*4\cos(x+y)}}\) 的最大值。
1，正弦定理。
已知：\(\D\frac{3}{\sin(x)}=\frac{4}{\sin(y)},\frac{3}{\sin(z)}=\frac{3\sin(x+y)/\sin(x)}{\sin(60^\circ+y+z)}\)
求：\(\D\frac{3\sin(60^\circ+y)}{\sin(z)}\) 的最大值。 本帖最后由 dlpg070 于 2020-6-24 17:44 编辑
王守恩 发表于 2020-6-24 06:35
根据题意，可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。
\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\ci ...
为大家讨论提供点具体数据:不知对否?
AD=7,BC=BD=AC=Sqrt =6.08276,角CAD=60度,角BAD=60度,角ACB=34.715度,角ABC=25.285度
hujunhua求解漂亮,正确,似乎需要先说明角BAD=60度
王守恩的AD是BAC角平分线没错,似乎也需要说明一下
参考图片:
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