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[提问] 初中题目,△ABC中,AB=4,AC=3,△BCD为等边三角形,求AD的最大值

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发表于 2020-6-23 09:56:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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初中题目,△ABC中,AB=4,AC=3,△BCD为等边三角形,求AD的最大值
题目来自抖音!
QQ截图20200623095357.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-6-23 10:02:29 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. (*A(0,0),B(4,0),C(x,y),C点在半径等于3的圆上,D点轨迹好像也是圆*)
  3. (*下面两个无理数,不可能被加减乘除消化掉,同时是实数,用完后替换成符号变量x\y*)
  4. rule={Pi,E}->{x,y};
  5. (*利用复数、向量旋转得到D点坐标,然后求得AD的模的平方*)
  6. aaa=FullSimplify@Norm[((Pi+E*I)-(4+0*I))*(Cos[-60Degree]+Sin[-60Degree]*I)+(4+0*I)]^2
  7. (*把实超越常数替换成变量*)
  8. bbb=aaa/.Thread[rule]
  9. (*约数条件点在圆上,求最大值*)
  10. ans=FullSimplify@Maximize[{bbb,x^2+y^2==9},{x,y}]
复制代码


\[\pi  (\pi -4)+e^2+4 e \sqrt{3}+16\]
\[(x-4) x+y^2+4 \sqrt{3} y+16\]
\[\left\{49,\left\{x\to -\frac{3}{2},y\to \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right\}\right\}\]
最后的结果是7
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-6-23 10:04:15 | 显示全部楼层
根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD
,不知道有没有比这更简单的办法了!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-6-23 10:24:29 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-6-23 10:04
根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*四面体体积公式,a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱,x,y,z分别是对棱*)
  3. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
  4. (*约数条件为四面体的体积等于零,然后求AD最大值*)
  5. ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun[3,4,AD,x,x,x]==0&&AD>0&&x>0},{AD,x}]
  6. (*不限制两个变量的范围,mathematica就有bug,求解不出来结果!*)
  7. ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun[3,4,AD,x,x,x]==0},{AD,x}]
  8. (*用等势线画图的办法,知道是四个不连通的区域,画的图有点问题*)
  9. ContourPlot[fun[3,4,AD,x,x,x]^2==0,{AD,-10,10},{x,-10,10}]
复制代码


\[\left\{7,\left\{\text{AD}\to 7,x\to \sqrt{37}\right\}\right\}\]]
此处软件又有bug!又发现了mathematica的bug!

(*不限制两个变量的范围,mathematica就有bug,求解不出来结果!*)
ans=FullSimplify@Maximize[{AD,fun[3,4,AD,x,x,x]==0},{AD,x}]

QQ截图20200623102323.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-23 10:28:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 倪举鹏 于 2020-6-23 10:29 编辑

第一次知道托勒密不等式定律

点评

还有别的办法吗?  发表于 2020-6-23 10:43
现在知道也不迟!  发表于 2020-6-23 10:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-6-23 11:57:19 | 显示全部楼层
将△BAC旋转60度至△BA'D. AA'=4, A'D=3.
无标题.png

点评

为什么你这么聪明???????????  发表于 2020-6-23 12:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-6-23 12:36:23 | 显示全部楼层
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发表于 2020-6-24 06:35:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-6-24 08:09 编辑
mathematica 发表于 2020-6-23 10:04
根据托勒密定理的不等式,
AC*BD+AB*CD=3*a+4*a>=AD*BC=AD*a
所以7>=AD

根据题意,可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。

\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\circ-\theta)}=\frac{4}{\sin(\theta)}\)

更   AD=AB+AC   因为恒有

\(\sin(60^\circ+\theta)\)

\(=\sin60^\circ\cos\theta+\cos60^\circ\sin\theta\)

\(=\sin60^\circ\cos\theta-\cos60^\circ\sin\theta+\sin\theta\)

\(=(\sin60^\circ-\theta)+\sin\theta\)

点评

看你的结果就不对  发表于 2020-6-24 13:54
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发表于 2020-6-24 17:15:04 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-6-24 06:35
根据题意,可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。

\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\ci ...

回到起点。

1,余弦定理。

已知:\(\D\frac{3}{\sin(x)}=\frac{4}{\sin(y)}\)

求:\(\sqrt{4^2+3^2+4^2+2*3*4\cos(x+y)-2*4\cos(60^\circ+x)\sqrt{3^2+4^2+2*3*4\cos(x+y)}}\) 的最大值。

1,正弦定理。

已知:\(\D\frac{3}{\sin(x)}=\frac{4}{\sin(y)},\frac{3}{\sin(z)}=\frac{3\sin(x+y)/\sin(x)}{\sin(60^\circ+y+z)}\)

   求:\(\D\frac{3\sin(60^\circ+y)}{\sin(z)}\) 的最大值。
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发表于 2020-6-24 17:37:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-6-24 17:44 编辑
王守恩 发表于 2020-6-24 06:35
根据题意,可知 AD 是 ∠BAC 的平分线。

\(\D\frac{AD}{\sin(60^\circ+\theta)}=\frac{3}{\sin(60^\ci ...


为大家讨论提供点具体数据:不知对否?
AD=7,BC=BD=AC=Sqrt[37] =6.08276,角CAD=60度,角BAD=60度,角ACB=34.715度,角ABC=25.285度

hujunhua求解漂亮,正确,似乎需要先说明角BAD=60度
王守恩的AD是BAC角平分线没错,似乎也需要说明一下
参考图片:

最大值示意图

最大值示意图
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