其中和为5，对应周期为4，所以要求构造4*4的子矩阵，每行每列都正好一个1，共4!=24种解（没有去除对称情况）,周期扩展即为合法解
其中和为4，对应周期为5，所以要求构造5*5的子矩阵，每行每列都正好一个1，共5!=120种解 ,周期扩展即为合法解
其中和为10，对应周期为4，所以要求构造4*4的子矩阵，每行每列都正好俩个1，共90种解 （A001499)，周期扩展即为合法解
其中和为8，对应周期为5，所以要求构造5*5的子矩阵，每行每列都正好俩个1，共2040种解 （A001499),周期扩展即为合法解 mathe 发表于 2020-7-17 19:26
所以现在对于原题，将8*8扩充到充分大时，由于m=5,n=4,那么必然只有和分别为5和4的倍数时才有解。
其中和 ...
结果并不需要很大，对于m=5, n=4, h=7, 前进一步，到9×9就无解了。
手工证明这个无解是可行的，因为4+5=9, 正好可以把2个4×5和2个5×4矩形铺在9×9网格中，只露出中间一个格子。所以总的黑格数为4*7或者4*7+1， 这为证明带来了额外的好处。
证明路线：
1、加权和式2个，系数为{1,2,3,4,4,3,2,1,0; 7}和{0,1,2,3,4,4,3,2,1; 7}，两式加起来得{1,3,5,7,8,7,5,3,1; 14}，包含了一行的全部格子。
2、一行中可能的黑格分布是有限的，按合并的系数包括：
1+5+7+1，1+5+5+3，1+3+7+3，1+8+5，3+8+3，7+7.
3、其中7+7即□□□■□■□□□, 这个能进行链式复制，复制链为5-1--6-2--7-3--8-4--9-5（成环了），所以不能有。剩下
1+5+7+1，1+5+5+3，1+3+7+3，1+8+5，3+8+3.
4、即一行只能有3-4个黑格，所以要么8*3+1*4=28，要么7*3+2*4=29, 也就是1+8+5与3+8+3总共至少要出现7行。
系数8即中间列，正反对应都不变，中间列上至少出现7个黑格，这与只能出现3~4个相矛盾。
还有11*11以上没有和为9的解。8*8和为4只有周期解。9*9和为5或8只有周期解。12*12和为10只有周期解 9*9和为5的现在分析起来也很容易，使用hujunhua的加权和，这时为{1,3,5,7,8,7,5,3,1; 10},
再联立{1,2,3,4,4,3,2,1,0; 5}, 可得每行只可能为
1+5+3+1：111000001 和101000011
1+8+1：100010001
5+5：001000100
7+3：010100000和000100010
其中模式111000001和010100000长配短配完全，可以链式复制到所有行，淘汰！只余下
101000011（模式1，非周期，4个1皆有短配，整行可长距复制）
100010001（模式2，周期4）
001000100（模式3，周期4）
000100010（模式4，周期4）
如果不使用模式1，其它模式都是以 4 为周期，所以结果是周期的。
如果使用模式1，在不同的轨道（下表中的行号组合）复制形成不同的初始局面，如下表1所示。
表1 模式1在各轨道形成的初始局面
行号1-62-73-84-95
局面101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
101000011
*********
*********
*********
*********
在上表中每个局面取一个含1的列，就得到了9×9网格的4个长距复制轨道图。
按图索骏，得到各轨道图可匹配的模式范围，如表2
表2 轨道--模式匹配表
行的复制轨道1-61****1***
2-7*1****1**
3-8**1****1*
4-9***1****1
5****1****
列的匹配模式无110000101101000011无100010001
表中显示两条轨道无匹配模式，模式1不能呆在这些行。
其它3条轨道都有唯一匹配，这就可以将表1中的轨道图用匹配的模式来代替。
匹配的模式比轨道图的1更多，替代的结果使得多出的1将所在行复制为模式1.
这新复制的行自然是在表2中别的轨道上，把列又指向别的模式，这就矛盾了。
所以模式1不能呆在这种有唯一匹配的轨道上。
显然，这种轨道成为了所匹配的模式的特征。
但是所有的轨道都是这样的特征轨道，没有非周期模式的立足之道。
所以只有周期解。
9*9和为8只有周期解的分析
有了上帖的铺垫 现在也能简明分析了。使用加权和{1,3,5,7,8,7,5,3,1; 16}， 辅以{1,2,3,4,4,3,2,1,0; 8}检验，得到以下7种模式
1+8+7:100011000, (周期5)
3+8+5:010010100, (周期5)
1+3+8+3+1: 110010011（非周期解，5个1中长配4, 足可复制全行）
1+7+7+1: 100101001,(周期5)
1+3+7+5: 110001100,(周期5)
1+7+5+3: 100100110, （非周期解，4个1皆有长配, 可复制全行）
3+5+5+3: 011000110,(周期5)
由于两个非周期模式都是可短距复制的，仿上贴列出短距复制轨道和轨道--模式匹配表，见表1
行的复制轨道1***1***1*1***1*****1***1*****1***1*
列的匹配模式110010011
110001100
011001001 011000110
001100011
100100110
双模式的交 *1*001*0* *0*100*1*
表19×9网格的短距复制轨道及模式匹配表
淘汰掉两个特征轨道，剩下的两个轨道是互为镜像的，研究其一即可。就选*1***1***（2--6）吧.
轨道*1***1***虽不能完全确定所在列的模式，但2个模式有3个同位0,可将轨道上的3个*替换为0,如下图所示：
轨
道 行取模式
100100110 列匹配双模式的交
*1*001*0*行0**0**00*
配011001001
*
1
*
*
*
1
*
*
**********
100100110
*********
*********
*********
100100110
*********
*********
********* *********
100100110
*********
0**0**00*（同位0）
0**0**00*（同位0）
100100110
*********
0**0**00*（同位0）
********* *********
100100110
*********
011001001
011001001
100100110
*********
011001001
*********
左
开始局面 中
进展１ 右
进展２
同位0所在的3行以雏形 0**0**00* 只能匹配唯一的模式：011001001，是最初模式的镜像。
居然有3行(上图右)，但我们已明了其轨道长度为2, 明显不符。
至于模式110010011, 由同位零得到行的雏形00**0**00, 直接匹配不到模式。
所以，9×9和为8没有非周期解。 8*8和为4的情况，使用模式{1,2,3,4,4,3,2,1;4}只能有模式
4: 00010000
3+1: 10100000或10000100，模式10100000可以通过长短距复制任意扩展，所以需要淘汰
2+2: 01000010
2+1+1: 11000001可以通过长短距复制任意扩展，所以需要淘汰
即余下模式
00010000(P)
10000100(P)
01000010(P)
其中标志P表示周期5的模式。所以8*8和为4也只有周期解 前面都是使用模式证明某些方案不存在，说服力还不够强，现在我们来分析8*8和为5情况的所有解，由于周期解已经很清晰了，所以分析中会只需找非周期解:
8*8和为5的情况，使用模式{1,2,3,4,4,3,2,1;5}只能有模式
4+1: 10010000或00010001
3+2：01100000或01000100，前者可以通过长短距复制任意扩展，所以需要淘汰
3+1+1: 10100001
2+2+1: 11000010
即余下模式
10010000
00010001(P)
01000100(P)
10100001
11000010
其中标志P表示周期4的模式。
由于周期解我们已经很了解了，下面只寻找非周期解，
而三个非周期模式都可以通过短轴长距复制成自身模式，于是数字1在对应的列间隔四格（如果不越界也必然是1），
如果使用10100001，（注意到每列1****1**模式只有10000101),有
10100001
0*0****0
0*0****0
0*0****0
0*0****0
10100001
0*0****0
1*1****1 (这种导致最后一行还是只能10100001,于是长距复制第三行矛盾，淘汰）
或
********
10100001
0*0****0
0*0****0
0*0****0
0*0****0
10100001
********（第1，3，8列必然第一行和最后一行一个0另外一个1），而0*0****0只有模式01000100符合，导致第二列中间四个全1淘汰。
或
********
********
********
10100001
********
********
********
********
（对应1所在每列模式为10010000或00010001），所以可以转化为
********
0*0****0
0*0****0
10100001
0*0****0
0*0****0
0*0****0
********（其中0*0****0只有模式01000100符合，导致第二列中间三个连续1淘汰。）
所以模式 10100001被淘汰。
如果使用模式11000010，同样长距复制有
11000010
00****0*
00****0*
00****0*
00****0*
11000010
00****0*
11****1*(这种导致最后一行还是只能11000010,于是长距复制第三行矛盾，淘汰）
或
********
11000010
00****0*
00****0*
00****0*
00****0*
11000010
********（而00****0*只能匹配00001001或00010001，即000**001,导致最后一列四个连续1，不符合任何模式淘汰）
或
********
00****0*
00****0*
11000010
00****0*
00****0*
00****0*
********（而00****0*只能匹配00001001或00010001，即000**001,导致最后一列*110111*不符合任何模式淘汰）.
所以只余下非周期模式10010000，这时所有候选方案只有
10010000
00010001(P)
01000100(P)
这时候长距离复制的限制只余下
********
0**0****
0**0****
10010000
0**0****
0**0****
0**0****
********
而其中第1，4列的第1,8行只能各一个1一个0 （两列匹配模式10010000或00010001），但是两者的1不能在同一行，不然还是模式10010000，继续长距复制矛盾），所以转化为
0**1****
0**0****
0**0****
10010000
0**0****
0**0****
0**0****
1**0****
或
1**0****
0**0****
0**0****
10010000
0**0****
0**0****
0**0****
0**1****
（注意0**1****只能匹配00010001,1**0****只能匹配10001000),两者分别转化为
00010001
0**0****
0**0****
10010000
0**0****
0**0****
0**0****
10001000
或
10001000
0**0****
0**0****
10010000
0**0****
0**0****
0**0****
00010001
根据(列1**0***0只能匹配10001000)，(列0**0***1只能匹配00001001)，又转化为
00010001
0**0***0
0**0***0
10010000
0**0***1
0**0***0
0**0***0
10001000
或
10001000
0**0***0
0**0***0
10010000
0**0***1
0**0***0
0**0***0
00010001
根据(0**0***1只能匹配00001001)，又转化为
00010001
0**0***0
0**0***0
10010000
00001001
0**0***0
0**0***0
10001000
或
10001000
0**0***0
0**0***0
10010000
00001001
0**0***0
0**0***0
00010001
根据(列0**01**1只匹配00001001), (列1**01**0只匹配10001000)转化为
00010001
0**00**0
0**00**0
10010000
00001001
0**00**0
0**00**0
10001000
或
10001000
0**00**0
0**00**0
10010000
00001001
0**00**0
0**00**0
00010001
而余下的0**00**0只能匹配01000100或反向00100010,所以得到每两个相邻的**都只能是10或01，所以四个*构成的小正方形中都正好两个1
于是第二个模式中前四行前五列将有6个1而不是5个1淘汰。只余下
00010001
0**00**0
0**00**0
10010000
00001001
0**00**0
0**00**0
10001000
其中所有*构成正方形有两种不同的选择方案，选择第2,3,4,5,6行，第3,4,5,6列，得出第6行的3,6列两个*必然一个0一个1.
所以得出任意一个*的正方形方案确定后，余下的正方形方案也唯一确定，总共只有两组非周期解，即分别为
00010001
01000100
00100010
10010000
00001001
01000100
00100010
10001000
或
00010001
00100010
01000100
10010000
00001001
00100010
01000100
10001000
两个相近图的差与变换
在12#发现中心变换时，不禁就在想是否还有其它简要的变换。事实上，变换在任何两个图之间都存在，只是变换的作用范围不同而已。
对相近的两个0-1 图` G_1, G_2`, `G1-G2`包含` \{0，1，-1\}`3种数字，其中 0 占据的就是`G_1∩G_2`部分,`1，-1`占据就是两图相异的部分。
把这相异部分取反色，就是变换`G_1←→G_2`.
相异部分越少，变换的作用对子就越多，越有提取出来的意义。中心变换（4格）是格子最少的变换，作用范围为5对。
格子较少的变换，还发现两种6格变换，一种9格变换，一种11格变换。
00000000
00000000
00000000
100 -10100
-1 0010 -100
00000000
00000000
00000000 00000000
00000000
00000000
0100 -1010
0 -10010 -10
00000000
00000000
00000000
6格变换1 , 作用于3对间6格变换2，作用于5对间
-1 0001 -100
00000000
00000000
1000 -1100
-1 0001 -100
00000000
00000000
00000000 1000 -1100
00000000
00000000
000 -11000
-1 0010 -100
1000 -1100
00000000
00000000
9格变换，作用于5对间11格变换，作用于3对间
表中的作用范围指的是8x8网格，和为9.
我们知道周期解易得，非周期解不易，有了上述变换，就容易从周期解得到非周期解了。
本帖最后由 chyanog 于 2020-8-8 21:39 编辑
用Mathematica搜索一下，耗时不到0.2秒，计算结果和mathe的一样，108个去重后25个。大概思路是求解线性方程组后遍历25个变量，再逐步剪枝
Clear["`*"];
F:=Symbol]
mat=Partition,{i,8^2}],8];
eqn=Total[#,2]==9&/@Flatten&/@{{4,5},{5,4}},2];
A=Solve[];
k=Length];
cond=LogicalExpand]<=1]];
iter=Table[{F,0,If==Last@Sort@Cases[#,_Symbol,-1]&],Evaluate@Boole,-1]},{i,k}];
cf=Compile[{{i01,_Integer}},
Module[{B=Internal`Bag},
Do,##2];
Internal`BagPart
],RuntimeAttributes->{Listable}
]&;
Length,8]&/@cf[{0,1}])]//AbsoluteTiming
(* 去重 *)
func=Sort@{#,Transpose],Reverse[#,{1,2}],Transpose],Transpose@Reverse[#,{1,2}],Transpose[#],Reverse[#],Reverse[#,2]}&;
Length[]]
MatrixForm/@ans2
10.0后的版本可以用DeleteDuplicatesBy代替GatherBy