将1-16填入4*4的行列式中,行列式的值最大是多少？
如果将1-9填入3*3的行列式中，每个数刚好出现一次，那么行列式的最大值是412，最小的取不到的正整数是324.比如下面这个行列式可以取到最大值412：
\begin{vmatrix} 1&4&8\\ 7&2&6\\5&9&3\end{vmatrix}
问题：如果将1-16填入4*4的行列式中，每个数刚好出现一次，则行列式的最大值是多少?是否一定小于16*15*14*13＝43680？ 目前找到的最大值是37638。虽然不确定这是否是最大的，但至少比3360要大很多。 已知道的最大行列式是37638。对应的矩阵是:
\[\begin{bmatrix}5 & 7 & 16 & 9\\ 13 & 2 & 6 & 14\\ 11 & 10 & 8 & 1\\ 3 & 15 & 4 & 12\end{bmatrix}\]
PS：365秒找到该矩阵，算法在1000秒结束，所以不能确定是否最优。
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参见楼下连接，目前知道的最优结果应该是40 800，对应的矩阵是：
\[\begin{bmatrix}12 & 13 & 6 & 2\\ 3 & 8 & 16 & 7\\ 14 & 1 & 9 & 10\\ 5 & 11 & 4 & 15\end{bmatrix}\]
本帖最后由 chyanog 于 2020-7-24 21:48 编辑
http://oeis.org/A085000
http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/064_09_JIPAM/064_09_www.pdf
Det /@ {
{{12, 13, 6, 2}, {3, 8, 16, 7}, {14, 1, 9, 10}, {5, 11, 4, 15}},
{{12, 13, 6, 2}, {5, 11, 4, 15}, {3, 8, 16, 7}, {14, 1, 9, 10}},
{{12, 13, 6, 2}, {14, 1, 9, 10}, {5, 11, 4, 15}, {3, 8, 16, 7}}
}//Union
Output
{40800} kaien 发表于 2020-7-24 20:16
目前找到的最大值是37638。虽然不确定这是否是最大的，但至少比3360要大很多。
我写错了，4*4的应该是四个数相乘，所以应该是不超过16*15*14*13＝43680. lsr314 发表于 2020-7-24 21:56
我写错了，4*4的应该是四个数相乘，所以应该是不超过16*15*14*13＝43680.
#4楼的论文里有一个理论上限是41021。所以不超过43680是对的。 不过文中也说了40800是目前知道的最好的结果，不知道是否还存在更好的结果。 http://oeis.org/A085000
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