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[提问] 将1-16填入4*4的行列式中,行列式的值最大是多少?

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发表于 2020-7-24 18:55:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 lsr314 于 2020-7-24 21:55 编辑

如果将1-9填入3*3的行列式中,每个数刚好出现一次,那么行列式的最大值是412,最小的取不到的正整数是324.
比如下面这个行列式可以取到最大值412:
\begin{vmatrix} 1&4&8\\ 7&2&6\\5&9&3\end{vmatrix}
问题:如果将1-16填入4*4的行列式中,每个数刚好出现一次,则行列式的最大值是多少?是否一定小于16*15*14*13=43680?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-24 20:16:41 | 显示全部楼层
目前找到的最大值是37638。虽然不确定这是否是最大的,但至少比3360要大很多。
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发表于 2020-7-24 20:43:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 kaien 于 2020-7-24 22:27 编辑

已知道的最大行列式是37638。对应的矩阵是:
\[\begin{bmatrix}5 & 7 & 16 & 9\\ 13 & 2 & 6 & 14\\ 11 & 10 & 8 & 1\\ 3 & 15 & 4 & 12\end{bmatrix}\]
PS:365秒找到该矩阵,算法在1000秒结束,所以不能确定是否最优。
-------
参见楼下连接,目前知道的最优结果应该是40 800,对应的矩阵是:
\[\begin{bmatrix}12 & 13 & 6 & 2\\ 3 & 8 & 16 & 7\\ 14 & 1 & 9 & 10\\ 5 & 11 & 4 & 15\end{bmatrix}\]
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发表于 2020-7-24 20:49:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2020-7-24 21:48 编辑

http://oeis.org/A085000
http://www.emis.de/journals/JIPA ... IPAM/064_09_www.pdf
  1. Det /@ {
  2.   {{12, 13, 6, 2}, {3, 8, 16, 7}, {14, 1, 9, 10}, {5, 11, 4, 15}},
  3.   {{12, 13, 6, 2}, {5, 11, 4, 15}, {3, 8, 16, 7}, {14, 1, 9, 10}},
  4.   {{12, 13, 6, 2}, {14, 1, 9, 10}, {5, 11, 4, 15}, {3, 8, 16, 7}}
  5.   }//Union
复制代码

Output
{40800}

点评

厉害了,不知道下面几项的上限是怎么得到的  发表于 2020-7-24 22:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-7-24 21:56:45 | 显示全部楼层
kaien 发表于 2020-7-24 20:16
目前找到的最大值是37638。虽然不确定这是否是最大的,但至少比3360要大很多。

我写错了,4*4的应该是四个数相乘,所以应该是不超过16*15*14*13=43680.
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发表于 2020-7-24 22:20:11 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2020-7-24 21:56
我写错了,4*4的应该是四个数相乘,所以应该是不超过16*15*14*13=43680.


#4楼的论文里有一个理论上限是41021。所以不超过43680是对的。
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发表于 2020-7-24 22:21:22 | 显示全部楼层
不过文中也说了40800是目前知道的最好的结果,不知道是否还存在更好的结果。
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发表于 2020-7-24 22:33:43 来自手机 | 显示全部楼层
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