四面体外接球的球心位置
若已知四面体六棱长，如何判断其外接球球心位置，只要判别出在四面体内或在四面体某一面内或在四面体外即可。对于三角形，这个问题很简单，看三角形是锐角三角形还是直角三角形还是钝角三角形即可。 先求出某一面的外接圆圆心位置，然后第四个点到圆心的距离等于外接圆半径。这个方程是临界值，不知道四个面是否会统一到一个方程里。 可以找到相对简单的用棱长的多项式的判别方法，现在想寻找的就是这个判别方法。数学星空说的方法是可以的，但是计算比较麻烦，例如对三角形来说，用面积来判别需要计算4个面积，用余弦定理来判断，只需要计算3个比较简单的边长平方和差的多项式。 本帖最后由 hejoseph 于 2020-8-26 13:59 编辑
我得到的结论是：四面体$ABCD$的体积是 $V$，外心是 $O$，$AB = a$，$AC = b$，$AD = c$，$CD = p$，$DB = q$，$BC = r$，令
\begin{align*}
Z_A &= (a^2 + b^2)p^2q^2 + (a^2 + c^2)p^2r^2 + (b^2 + c^2)q^2r^2 - a^2p^4 - b^2q^4 - c^2r^4 - 2p^2q^2r^2\\
Z_B &= (q^2 + r^2)b^2c^2 + (q^2 + a^2)b^2p^2 + (r^2 + a^2)c^2p^2 - q^2b^4 - r^2c^4 - a^2p^4 - 2b^2c^2p^2\\
Z_C &= (p^2 + r^2)a^2c^2 + (p^2 + b^2)a^2q^2 + (r^2 + b^2)c^2q^2 - p^2a^4 - r^2c^4 - b^2q^4 - 2a^2c^2q^2\\
Z_D &= (p^2 + q^2)a^2b^2 + (p^2 + c^2)a^2r^2 + (q^2 + c^2)b^2r^2 - p^2a^4 - q^2b^4 - c^2r^4 - 2a^2b^2r^2
\end{align*}
如果 $Z_A > 0$，则点 $A$ 和点 $O$ 在平面 $BCD$ 的同侧；如果 $Z_A < 0$，则点 $A$ 和点 $O$ 在平面 $BCD$ 的异侧；如果 $Z_A = 0$，则点 $O$ 在平面 $BCD$ 内。其余顶点对应的判别式是 $Z_{顶点的字母}$，判别方法类似前面的。 理论上可以这样判定：
1、计算外接球的表面积`S:=S(a,b,c,p,q,r)`或者体积`V:=V(a,b,c,p,q,r)`.
2、计算四面体所在球冠的面积`S_A,S_B,S_C,S_D`，或者所在球缺的体积`V_A,V_B,V_C,V_D`.
3、以`\D\frac{S_i}S\text{v.s.}\frac12`或者`\D\frac{V_i}S\text{v.s.}\frac12`为判据，只要有一个小于1/2, 球心即在体外，只有都大于1/2, 球心才在体内。
实际计算起来，运算量不小，能不能得到显式，也未可知。
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