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[讨论] 四面体外接球的球心位置

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发表于 2020-8-25 10:33:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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若已知四面体六棱长,如何判断其外接球球心位置,只要判别出在四面体内或在四面体某一面内或在四面体外即可。
对于三角形,这个问题很简单,看三角形是锐角三角形还是直角三角形还是钝角三角形即可。

点评

若球心在四面体外面,则球心与四个顶点中三个构成的小四面体之和大于原四面体体积,否则相等~  发表于 2020-8-25 11:31
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-25 11:33:22 | 显示全部楼层
先求出某一面的外接圆圆心位置,然后第四个点到圆心的距离等于外接圆半径。这个方程是临界值,不知道四个面是否会统一到一个方程里。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-8-25 12:11:31 | 显示全部楼层
可以找到相对简单的用棱长的多项式的判别方法,现在想寻找的就是这个判别方法。数学星空说的方法是可以的,但是计算比较麻烦,例如对三角形来说,用面积来判别需要计算4个面积,用余弦定理来判断,只需要计算3个比较简单的边长平方和差的多项式。
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 楼主| 发表于 2020-8-26 13:57:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2020-8-26 13:59 编辑

我得到的结论是:四面体$ABCD$的体积是 $V$,外心是 $O$,$AB = a$,$AC = b$,$AD = c$,$CD = p$,$DB = q$,$BC = r$,令
\begin{align*}
Z_A &= (a^2 + b^2)p^2q^2 + (a^2 + c^2)p^2r^2 + (b^2 + c^2)q^2r^2 - a^2p^4 - b^2q^4 - c^2r^4 - 2p^2q^2r^2\\
Z_B &= (q^2 + r^2)b^2c^2 + (q^2 + a^2)b^2p^2 + (r^2 + a^2)c^2p^2 - q^2b^4 - r^2c^4 - a^2p^4 - 2b^2c^2p^2\\
Z_C &= (p^2 + r^2)a^2c^2 + (p^2 + b^2)a^2q^2 + (r^2 + b^2)c^2q^2 - p^2a^4 - r^2c^4 - b^2q^4 - 2a^2c^2q^2\\
Z_D &= (p^2 + q^2)a^2b^2 + (p^2 + c^2)a^2r^2 + (q^2 + c^2)b^2r^2 - p^2a^4 - q^2b^4 - c^2r^4 - 2a^2b^2r^2
\end{align*}
如果 $Z_A > 0$,则点 $A$ 和点 $O$ 在平面 $BCD$ 的同侧;如果 $Z_A < 0$,则点 $A$ 和点 $O$ 在平面 $BCD$ 的异侧;如果 $Z_A = 0$,则点 $O$ 在平面 $BCD$ 内。其余顶点对应的判别式是 $Z_{顶点的字母}$,判别方法类似前面的。
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发表于 2020-8-26 20:20:46 | 显示全部楼层
理论上可以这样判定:

1、计算外接球的表面积`S:=S(a,b,c,p,q,r)`或者体积`V:=V(a,b,c,p,q,r)`.
2、计算四面体所在球冠的面积`S_A,S_B,S_C,S_D`,或者所在球缺的体积`V_A,V_B,V_C,V_D`.
3、以`\D\frac{S_i}S\text{v.s.}\frac12`或者`\D\frac{V_i}S\text{v.s.}\frac12`为判据,只要有一个小于1/2, 球心即在体外,只有都大于1/2, 球心才在体内。

实际计算起来,运算量不小,能不能得到显式,也未可知。
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