三角函数方程组
从别处看到的问题。已知\[
\left\{
\begin{aligned}
\sin\alpha&=\phantom{1}\sin(\alpha+\beta+\gamma)+1\\
\sin\beta&=3\sin(\alpha+\beta+\gamma)+2\\
\sin\gamma&=5\sin(\alpha+\beta+\gamma)+3\\
\end{aligned}
\right.
\]
求 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$。 本帖最后由 hejoseph 于 2020-9-7 17:57 编辑
我用的方法比较麻烦，也是得到-1/2或-3/4。 本帖最后由 zeroieme 于 2020-9-7 19:17 编辑
我用的方法比较暴力
Sin[\+\+\]/.({Sin[\]==Sin[\+\+\]+1,Sin[\]==3Sin[\+\+\]+2,Sin[\]==5Sin[\+\+\]+3}/.{\->2ArcTan,\->2ArcTan,\->2ArcTan}//(#[]-#[]//TrigExpand//Factor//#==0&)&/@#&//Solve[#,{x,y,z}]&//{\->2ArcTan,\->2ArcTan,\->2ArcTan}/.#&)//FullSimplify//DeleteDuplicates
{-(1/2),-(3/4)} 由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ 消去 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$ 得到一个代数式。为了方便，下面令 $t=\sin(\alpha+\beta+\gamma)$，$x=\sin\alpha$，$y=\sin\beta$，$z=\sin\gamma$，则得
\[
t^4+4xyzt^3-2(x^2+y^2+z^2+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2)t^2+4xyz(x^2+y^2+z^2-2)t+x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2+4x^2y^2z^2=0
\]
从上面的式子也可以看出，如果题目的数字稍微改一点，就会变得很复杂了。 hejoseph 发表于 2020-9-8 09:42
由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma ...
你这公式很不错，不过核实了下，应该是\
把$x=t+1,y=3t+2,z=5t+3$代入进去。得到$16 (1 + 2 t)^4 (3 + 4 t)^2=0$。 比较有趣的是，这个$t$是否还存在其他可能的有理数值。
Clear["Global`*"];
(*三角函数展开，并且替换掉正弦函数余弦函数*)
fun:=TrigExpand]/.{Sin->s1,Cos->c1,Sin->s2,Cos->c2,Sin->s3,Cos->c3}
ans=FullSimplify@Solve[{
s1==1*s+1&&
s2==3*s+2&&
s3==5*s+3&&
(*正弦余弦的平方和等于1*)
s1^2+c1^2==1&&
s2^2+c2^2==1&&
s3^2+c3^2==1&&
s==fun
},
{s,s1,s2,s3,c1,c2,c3}
]
Grid
求解结果
\[
\begin{array}{ccccccc}
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{array}
\]
mathematica吊打这类问题，方程思想万岁！ Clear["Global`*"];
(*三角函数展开，并且替换掉正弦函数余弦函数*)
fun:=TrigExpand]/.{Sin->s1,Cos->c1,Sin->s2,Cos->c2,Sin->s3,Cos->c3}
ans=Eliminate[
{
(*正弦余弦的平方和等于1*)
s1^2+c1^2==1&&
s2^2+c2^2==1&&
s3^2+c3^2==1&&
s==fun
},{c1,c2,c3}]
四个正弦函数之间的关系
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