数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 224|回复: 15

[讨论] 三角函数方程组

[复制链接]
发表于 2020-9-7 17:31:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
从别处看到的问题。已知
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sin\alpha&=\phantom{1}\sin(\alpha+\beta+\gamma)+1\\
\sin\beta&=3\sin(\alpha+\beta+\gamma)+2\\
\sin\gamma&=5\sin(\alpha+\beta+\gamma)+3\\
\end{aligned}
\right.
\]
求 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$。

点评

-1/2 或者-3/4  发表于 2020-9-7 17:44
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-7 17:55:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2020-9-7 17:57 编辑

我用的方法比较麻烦,也是得到-1/2或-3/4。

点评

mathematica解这类方程真的too easy  发表于 2020-9-10 08:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-7 18:23:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2020-9-7 19:17 编辑

我用的方法比较暴力
  1. Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]/.({Sin[\[Alpha]]==Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+1,Sin[\[Beta]]==3Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+2,Sin[\[Gamma]]==5Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+3}/.{\[Alpha]->2ArcTan[x],\[Beta]->2ArcTan[y],\[Gamma]->2ArcTan[z]}//(#[[1]]-#[[2]]//TrigExpand//Factor//#==0&)&/@#&//Solve[#,{x,y,z}]&//{\[Alpha]->2ArcTan[x],\[Beta]->2ArcTan[y],\[Gamma]->2ArcTan[z]}/.#&)//FullSimplify//DeleteDuplicates
复制代码

{-(1/2),-(3/4)}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-8 09:42:13 | 显示全部楼层
由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ 消去 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$ 得到一个代数式。为了方便,下面令 $t=\sin(\alpha+\beta+\gamma)$,$x=\sin\alpha$,$y=\sin\beta$,$z=\sin\gamma$,则得
\[
t^4+4xyzt^3-2(x^2+y^2+z^2+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2)t^2+4xyz(x^2+y^2+z^2-2)t+x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2+4x^2y^2z^2=0
\]

从上面的式子也可以看出,如果题目的数字稍微改一点,就会变得很复杂了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-8 21:48:30 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2020-9-8 09:42
由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma ...


你这公式很不错,不过核实了下,应该是\[t^4 + 4 x y zt^3 - 2  (x^2 + y^2 + z^2 - 2 x^2 y^2  - 2 x^2 z^2 - 2 y^2 z^2)t^2+ 4 x y z (x^2 + y^2 + z^2-2)t + x^4 + y^4 + z^4 - 2 x^2 y^2  - 2 x^2 z^2 - 2 y^2 z^2 + 4 x^2 y^2 z^2  =0\]
把$x=t+1,y=3t+2,z=5t+3$代入进去。得到$16 (1 + 2 t)^4 (3 + 4 t)^2=0$。 比较有趣的是,这个$t$是否还存在其他可能的有理数值。

点评

如果不考虑 x,y,z,t 的值域的话,这个不定方程有许多整数点。  发表于 2020-9-10 11:17
确实,勾股数都是有理数,精彩!  发表于 2020-9-9 22:12
x=-y,t=z  发表于 2020-9-9 10:50
只要x,y,z都是u^2+v^2=1的解,t也是有理数  发表于 2020-9-9 10:45
${t=-1,x=0,y=-1,z=0},{t=-3/4,x=1/4,y=-1/4,z=-3/4},{t=-1/2,x=1/2,y=1/2,z=-1},{t=-1/2,x=1/2,y=1/2,z=1/2}$  发表于 2020-9-9 10:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-10 08:16:38 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*三角函数展开,并且替换掉正弦函数余弦函数*)
  3. fun:=TrigExpand[Sin[a+b+c]]/.{Sin[a]->s1,Cos[a]->c1,Sin[b]->s2,Cos[b]->c2,Sin[c]->s3,Cos[c]->c3}
  4. ans=FullSimplify@Solve[{
  5.     s1==1*s+1&&
  6.     s2==3*s+2&&
  7.     s3==5*s+3&&
  8.     (*正弦余弦的平方和等于1*)
  9.     s1^2+c1^2==1&&
  10.     s2^2+c2^2==1&&
  11.     s3^2+c3^2==1&&
  12.     s==fun
  13.     },
  14.     {s,s1,s2,s3,c1,c2,c3}
  15. ]
  16. Grid[ans]
复制代码


求解结果

\[
\begin{array}{ccccccc}
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{array}
\]

mathematica吊打这类问题,方程思想万岁!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-10 08:28:15 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*三角函数展开,并且替换掉正弦函数余弦函数*)
  3. fun:=TrigExpand[Sin[a+b+c]]/.{Sin[a]->s1,Cos[a]->c1,Sin[b]->s2,Cos[b]->c2,Sin[c]->s3,Cos[c]->c3}
  4. ans=Eliminate[
  5. {
  6.     (*正弦余弦的平方和等于1*)
  7.     s1^2+c1^2==1&&
  8.     s2^2+c2^2==1&&
  9.     s3^2+c3^2==1&&
  10.     s==fun
  11. },{c1,c2,c3}]
复制代码

四个正弦函数之间的关系
\[s^4+4 s^3 \text{s1} \text{s2} \text{s3}+s^2 \left(4 \text{s1}^2 \text{s2}^2+4 \text{s1}^2 \text{s3}^2-2 \text{s1}^2+4 \text{s2}^2 \text{s3}^2-2 \text{s2}^2-2 \text{s3}^2\right)+s \text{s1} \text{s2} \text{s3} \left(4 \text{s1}^2+4 \text{s2}^2+4 \text{s3}^2-8\right)=-\text{s1}^4-4 \text{s1}^2 \text{s2}^2 \text{s3}^2+2 \text{s1}^2 \text{s2}^2+2 \text{s1}^2 \text{s3}^2-\text{s2}^4+2 \text{s2}^2 \text{s3}^2-\text{s3}^4\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-9-26 19:58 , Processed in 0.116949 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表