三角函数方程组

hejoseph

从别处看到的问题。已知
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sin\alpha&=\phantom{1}\sin(\alpha+\beta+\gamma)+1\\
\sin\beta&=3\sin(\alpha+\beta+\gamma)+2\\
\sin\gamma&=5\sin(\alpha+\beta+\gamma)+3\\
\end{aligned}
\right.
\]
求 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$。

hejoseph

我用的方法比较麻烦，也是得到-1/2或-3/4。

zeroieme

我用的方法比较暴力

1. Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]/.({Sin[\[Alpha]]==Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+1,Sin[\[Beta]]==3Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+2,Sin[\[Gamma]]==5Sin[\[Alpha]+\[Beta]+\[Gamma]]+3}/.{\[Alpha]->2ArcTan[x],\[Beta]->2ArcTan[y],\[Gamma]->2ArcTan[z]}//(#[[1]]-#[[2]]//TrigExpand//Factor//#==0&)&/@#&//Solve[#,{x,y,z}]&//{\[Alpha]->2ArcTan[x],\[Beta]->2ArcTan[y],\[Gamma]->2ArcTan[z]}/.#&)//FullSimplify//DeleteDuplicates

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{-(1/2),-(3/4)}

hejoseph

由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ 消去 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$ 得到一个代数式。为了方便，下面令 $t=\sin(\alpha+\beta+\gamma)$，$x=\sin\alpha$，$y=\sin\beta$，$z=\sin\gamma$，则得
\[
t^4+4xyzt^3-2(x^2+y^2+z^2+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2)t^2+4xyz(x^2+y^2+z^2-2)t+x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2+4x^2y^2z^2=0
\]

从上面的式子也可以看出，如果题目的数字稍微改一点，就会变得很复杂了。

wayne

hejoseph 发表于 2020-9-8 09:42
由 $\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\gamma ...

你这公式很不错，不过核实了下，应该是\[t^4 + 4 x y zt^3 - 2  (x^2 + y^2 + z^2 - 2 x^2 y^2  - 2 x^2 z^2 - 2 y^2 z^2)t^2+ 4 x y z (x^2 + y^2 + z^2-2)t + x^4 + y^4 + z^4 - 2 x^2 y^2  - 2 x^2 z^2 - 2 y^2 z^2 + 4 x^2 y^2 z^2  =0\]
把$x=t+1,y=3t+2,z=5t+3$代入进去。得到$16 (1 + 2 t)^4 (3 + 4 t)^2=0$。 比较有趣的是，这个$t$是否还存在其他可能的有理数值。

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*三角函数展开，并且替换掉正弦函数余弦函数*)
   
3. fun:=TrigExpand[Sin[a+b+c]]/.{Sin[a]->s1,Cos[a]->c1,Sin[b]->s2,Cos[b]->c2,Sin[c]->s3,Cos[c]->c3}
   
4. ans=FullSimplify@Solve[{
   
5.     s1==1*s+1&&
   
6.     s2==3*s+2&&
   
7.     s3==5*s+3&&
   
8.     (*正弦余弦的平方和等于1*)
   
9.     s1^2+c1^2==1&&
   
10.     s2^2+c2^2==1&&
    
11.     s3^2+c3^2==1&&
    
12.     s==fun
    
13.     },
    
14.     {s,s1,s2,s3,c1,c2,c3}
    
15. ]
    
16. Grid[ans]
    

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求解结果

\[
\begin{array}{ccccccc}
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{3}{4} & \text{s1}\to \frac{1}{4} & \text{s2}\to -\frac{1}{4} & \text{s3}\to -\frac{3}{4} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{15}}{4} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{7}}{4} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to \frac{\sqrt{3}}{2} \\
s\to -\frac{1}{2} & \text{s1}\to \frac{1}{2} & \text{s2}\to \frac{1}{2} & \text{s3}\to \frac{1}{2} & \text{c1}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c2}\to \frac{\sqrt{3}}{2} & \text{c3}\to -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{array}
\]

mathematica吊打这类问题，方程思想万岁！

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*三角函数展开，并且替换掉正弦函数余弦函数*)
   
3. fun:=TrigExpand[Sin[a+b+c]]/.{Sin[a]->s1,Cos[a]->c1,Sin[b]->s2,Cos[b]->c2,Sin[c]->s3,Cos[c]->c3}
   
4. ans=Eliminate[
   
5. {
   
6.     (*正弦余弦的平方和等于1*)
   
7.     s1^2+c1^2==1&&
   
8.     s2^2+c2^2==1&&
   
9.     s3^2+c3^2==1&&
   
10.     s==fun
    
11. },{c1,c2,c3}]
    

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四个正弦函数之间的关系
\[s^4+4 s^3 \text{s1} \text{s2} \text{s3}+s^2 \left(4 \text{s1}^2 \text{s2}^2+4 \text{s1}^2 \text{s3}^2-2 \text{s1}^2+4 \text{s2}^2 \text{s3}^2-2 \text{s2}^2-2 \text{s3}^2\right)+s \text{s1} \text{s2} \text{s3} \left(4 \text{s1}^2+4 \text{s2}^2+4 \text{s3}^2-8\right)=-\text{s1}^4-4 \text{s1}^2 \text{s2}^2 \text{s3}^2+2 \text{s1}^2 \text{s2}^2+2 \text{s1}^2 \text{s3}^2-\text{s2}^4+2 \text{s2}^2 \text{s3}^2-\text{s3}^4\]