正三角形的最小整数边长之二
已知，在正三角形ABC中，有一个内点O，点O到三个顶点的距离分别是三个不同的正整数，另外还有四个外点P、Q、R、S，它们到三个顶点的距离分别是十二个互不相同的整数，并且这四点不与正三角形ABC的任一条边共线，求正三角形ABC的最小整数边长。 本帖最后由 xbtianlang 于 2020-9-13 22:02 编辑在\( \Delta ABC \)中，\( \angle A= \theta \)，对应边分别是a、b、c，以AB为边长构建等边\( \Delta ABD \)和\( \Delta ABE \)，连接CD、CE，以CD长L为边长构建等边\( \Delta FDC \)，以CE长l为边长构建等边\( \Delta GCE \)。
连接AF，AG，由\( \Delta FAD \simeq \Delta CBD \) 和\( \Delta AEG \simeq \Delta BEC \) 得 AF=AG=a。
在\( \Delta ADC \)中，由余弦定理可得：
\[ L^2=\frac{a^2+b^2+c^2 +\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2}\]
在\( \Delta AEC \)中，由余弦定理可得：
\[ l^2=\frac{a^2+b^2+c^2 -\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2}\]
内点A到\( \Delta FDC \)的三个顶点的距离分别是a、b、c，外点A到\( \Delta GCE \)的三个顶点的距离分别是a、b、c，
当\( \theta = \frac{2\pi}{3}\)时，D、A、C三点共线，当\( \theta = \frac{\pi}{3}\)时，A、E、C三点共线。
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