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[原创] 正三角形的最小整数边长之二

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发表于 2020-9-12 11:34:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知,在正三角形ABC中,有一个内点O,点O到三个顶点的距离分别是三个不同的正整数,另外还有四个外点P、Q、R、S,它们到三个顶点的距离分别是十二个互不相同的整数,并且这四点不与正三角形ABC的任一条边共线,求正三角形ABC的最小整数边长。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-13 20:32:30 | 显示全部楼层
QQ浏览器截图20200913202347.png
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 楼主| 发表于 2020-9-13 21:40:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 xbtianlang 于 2020-9-13 22:02 编辑

在\( \Delta ABC \)中,\( \angle A= \theta \),对应边分别是a、b、c,以AB为边长构建等边\( \Delta ABD \)和\( \Delta ABE \),连接CD、CE,以CD长L为边长构建等边\( \Delta FDC \),以CE长l为边长构建等边\( \Delta GCE \)。
连接AF,AG,由\( \Delta FAD \simeq \Delta CBD \) 和\( \Delta AEG \simeq \Delta BEC \) 得 AF=AG=a。
在\( \Delta ADC \)中,由余弦定理可得:
\[ L^2=\frac{a^2+b^2+c^2 +\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2}\]
在\( \Delta AEC \)中,由余弦定理可得:
\[ l^2=\frac{a^2+b^2+c^2 -\sqrt{3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2}\]
内点A到\( \Delta FDC \)的三个顶点的距离分别是a、b、c,外点A到\( \Delta GCE \)的三个顶点的距离分别是a、b、c,
当\( \theta = \frac{2\pi}{3}\)时,D、A、C三点共线,当\( \theta = \frac{\pi}{3}\)时,A、E、C三点共线。
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