本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-18 18:17 编辑
有趣了,关于kmax有了3个结果:
dlpg070 kmax = 0.66221941709051377445 ,
王守恩 kmax = 0.683281573(*矩形,不是正方形 !!! 我已经验证 kmax= 0.68328157299971576143 *)
markgang2050 kmax = 0.69630
哪个对?等待公式和代码
小宇宙大爆炸,王守恩最近的公式都简洁,漂亮,计算结果也正确,
k=0.653687685565511449
k=0.66221941709065945332
不知为何贴出的代码却不能运行?
鉴于他又给出 k的新结果,把他的已发表代码整理出来,供进一步研究学习
(*王守恩*)
Clear["Global`*"]
nn=5;
alpha=Pi*2/nn;(*对 中心的夹角,不是顶角 *)
beta= Pi-alpha;(* 5边形 顶角 *)
(*
r5=1/2 /Sin;
pts=Table[{r5 Sin,r5 Cos},{i,0,nn-1}];
pgn5=Polygon[{pts[],pts[],pts[],pts[],pts[]}];
alpha*180/Pi
beta*180/Pi
*)
size=100;
sol=NMaximize[{x,x/Sin==y/Sin==(size-y)/Sin},{x,y},WorkingPrecision->20];
x=sol[];
y=y/.sol[];
k=x^2/(5*(size/2)^2*Tan)(*=0.662219*)
Print["顶点不重合:\n正5边形边长size=",size,"\n正方形边长 x=",x," y=",y." \n面积比 k=",k]
(*x=106.04974729*)
x=100*Sin/Sin[(alpha+Pi/4)];
k=x^2/(5*(size/2)^2*Tan);
Print["顶点重合:\n正5边形边长size=",size,"\n正方形边长 x=",N," \n面积比 k=",N]
Print["--- end ---"]
输出:
顶点不重合:
正5边形边长size=100
正方形边长 x=106.0497472914843438 y=65.5423483244744266.
面积比 k=0.653687685565511449
顶点重合:
正5边形边长size=100
正方形边长 x=106.73956817111818693
面积比 k=0.66221941709065945332
--- end ---
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-18 19:25 编辑
利用基于几何图形的通用求最大值公式,解得最大矩形:
与王守恩的结果相同,不知他的计算方法,附加图形演示
最大矩形1.1755705045848839 X 1.0000000000000064 kmax= 0.68328157299971576143
图形文件:5边形切成矩形_6_0.683282_20201016.png
假设五边形的边长是1，那么
Clear["Global`*"];
(*正五边形的边长是1，正方形的一个顶点与五边形的顶点(x1,y1)重合*)
{x1,y1}={Cos,Sin}/(2*Sin)
{x2,y2}={Cos,Sin}/(2*Sin)
{x3,y3}={Cos[-54*Degree],Sin[-54*Degree]}/(2*Sin)
(*联立方程组求解正方形的一个顶点与面积与边长*)
ans=Solve[
{
(*斜率等于-1，夹角45度*)
(y1-y)/(x1-x)==-1,
(*三个点在一条直线上*)
Det[{{x2,y2,1},{x,y,1},{x3,y3,1}}]==0,
(*求出正方形面积与边长*)
area==((x1-x)^2+(y1-y)^2),
a==Sqrt
},{x,y,area,a}
]//FullSimplify//ToRadicals
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\right),y\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5+\frac{2}{\sqrt{5}}}-\sqrt{5}\right),\text{area}\to -\sqrt{5}-\sqrt{5 \left(5-2 \sqrt{5}\right)}+5,a\to \frac{1}{\sqrt{\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+1}}\right\}\right\}\]
数值化
{{x->0.7547627247472144052568534556253287429122629833231586307604154590323857668960609054969184430813210918,
y->0.09588808360482552692468704143768232932813842044165825107632478334549828046789806119740192119719652967,
area->1.139333541335678672811469270193051439784864282781098774190079158906114569558470358972146914386392473,
a->1.067395681711181869259263762671132123550718317081717755877177591632092303675720613914979197555879963}}
你的有答案吗？
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-19 19:11 编辑
到目前为止,顶点重合方案正方形最大 k=0.662219
已经有多人得到这个结果
1 dlpg070:4# 解方程精确解
2 倪举鹏 8#第一图
3 dlpg070:10#通用解(数值解),证明k为最大
4 王守恩:11# 公式最简单,精确解
5 mathematica:13# 解方程精确解
疑问:markfang2050: k=0.69630 尚没有人实现,原因?
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比较一组数据,供欣赏,(100位以上)
mathematica:
正5边形边长 =1
a=1/Sqrt+Sqrt]] =1.067395681711181869259263762671132123550718317081717755877177591632092303675720613914979197555879963
k=(4 (5-Sqrt-Sqrt)]))/(5 Sqrt]) =0.6622194170906594533216867061368321968822822473288305526854574511942222609885329627339015135615710639
--------------
王守恩:
顶点重合:
正5边形边长size=100
正方形边长 a=100 Sqrt/8] Sec[(3 \)/20] = 106.73956817111818692592637626711321235507183170817177558771775916320923036757206139149791975558799629320787963
面积比 k=(4 (5/8+Sqrt/8) Sec[(3 \)/20]^2)/(5 Sqrt]) = 0.66221941709065945332168670613683219688228224732883055268545745119422226098853296273390151356157106392192449938
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dlpg070 发表于 2020-10-19 14:37
到目前为止,顶点重合方案正方形最大 k=0.662219
已经有多人得到这个结果
1 dlpg70:4# 解方程精确解
为了便于比较, 化简 4# 公式:
化简前:
k=(1/(5 Sqrt]))4 ((1/(2 Sqrt/8])+(10-10 Sqrt-20 Sqrt)]+10 Sqrt)]+Sqrt)])/((-5+Sqrt)^2 (-1+Sqrt)]+Sqrt[(5+Sqrt)/(5-Sqrt)])))^2+(-Sqrt[(2/(5-Sqrt))]+Sqrt)]+Sqrt)]/(5-Sqrt)+Sqrt)]/(5-Sqrt)+Sqrt)] (-4+4 Sqrt[(5+Sqrt)/(5-Sqrt)]))^2/(-4+4 Sqrt)]+4 Sqrt[(5+Sqrt)/(5-Sqrt)])^2)
化简后,取100位数值:
kmax=4 (2-Sqrt+Sqrt]) = 0.6622194170906594533216867061368321968822822473288305526854574511942222609885329627339015135615710639
机械软件画图只有顶点重合最大，其他结果要么不是最大，要么是有个点在五边形外面的错误结果
如果假设五边形的边长是1，
那么利用正弦定理，三角形的三个内角分别是9° 108°63°
然后就可以得到四边形的边长是sin/sin
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-21 19:01 编辑
楼主的问题是:
一块面积为1的正5边形，现要裁剪为正方形，正方形最大面积为多少？
即求最大正方形的边长 a(不同公式,分别为 ap,aw,am13,am18)
现在可以确认顶点重合正方形最大,且有精确解
有以下多种等价的表达方式,列出4个
dlpg070 4# ap=Sqrt-Sqrt)]] = 1.0673956817111818693
kp=4 (2-Sqrt+Sqrt]) = 0.66221941709065945332
王守恩 8# aw=1/2 Sqrt)] Sec = 1.0673956817111818693
kw=(16 Sqrt/8] (5/8+Sqrt/8) Sec^2)/(5 (1+Sqrt))
= 0.66221941709065945332
mathematica 13# am13=Sqrt-Sqrt)]] = 1.0673956817111818693
mathematica 18# am18=1/2 Sqrt)] Sec = 1.0673956817111818693
a的各个公式应该都正确,但需要证明Sec的公式成立,才等价
Sec=Sqrt-Sqrt)])]= 1.1223262376343608072
谁能证明:!!!!!!
不然,mathematica软件,不能确认以下关系:
ap==aw?
ap==am18?
am13==am18?(mathematica的2个结果,都正确,但不能用 == 确认)
仅能确认以下关系:
ap==am13?True (* 即dlpg070 4#公式和mathematica 13#公式相同*)
aw==am18?True (* 即王守恩 8#公式和mathematica 18#公式相同*)
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本帖最后由 northwolves 于 2020-10-27 17:56 编辑
我推导了半天得到这个：
$\frac{4sin\frac{pi}{5}(1+cos\frac{pi}{5})}{5cos\frac{pi}{5}(1+sin\frac{pi}{5})}$