正方形最大面积为多少

dlpg070

有趣了,关于kmax有了3个结果:
dlpg070      kmax = 0.66221941709051377445 ,
王守恩       kmax = 0.683281573(*矩形,不是正方形 !!! 我已经验证 kmax= 0.68328157299971576143 *)
markgang2050 kmax = 0.69630
哪个对?等待公式和代码
小宇宙大爆炸,王守恩最近的公式都简洁,漂亮,计算结果也正确,
k=0.653687685565511449
k=0.66221941709065945332
不知为何贴出的代码却不能运行?
鉴于他又给出 k的新结果,把他的已发表代码整理出来,供进一步研究学习

1. (*王守恩*)
   
2. Clear["Global`*"]
   
3. nn=5;
   
4. alpha=Pi*2/nn;(*对 中心的夹角,不是顶角 *)
   
5. beta= Pi-alpha;(* 5边形 顶角 *)
   
6. (*
   
7. r5=1/2 /Sin[alpha/2];
   
8. pts=Table[{r5 Sin[Pi*2/nn*i],r5 Cos[Pi*2/nn*i]},{i,0,nn-1}];
   
9. pgn5=Polygon[{pts[[1]],pts[[2]],pts[[3]],pts[[4]],pts[[5]]}];
   
10. alpha*180/Pi
    
11. beta*180/Pi
    
12. *)
    
13. 
    
14. size=100;
    
15. sol=NMaximize[{x,x/Sin[beta]==y/Sin[alpha/2]==(size-y)/Sin[alpha/4]},{x,y},WorkingPrecision->20];
    
16. x=sol[[1]];
    
17. y=y/.sol[[2]];
    
18. 
    
19. k=x^2/(5*(size/2)^2*Tan[beta/2])(*=0.662219*)
    
20. Print["顶点不重合:\n正5边形边长size=",size,"\n正方形边长    x=",x," y=",y." \n面积比        k=",k]
    
21. 
    
22. (*x=106.04974729*)
    
23. x=100*Sin[beta]/Sin[(alpha+Pi/4)];
    
24. k=x^2/(5*(size/2)^2*Tan[beta/2]);
    
25. Print["顶点重合:\n正5边形边长size=",size,"\n正方形边长    x=",N[x,20]," \n面积比        k=",N[k,20]]
    
26. 
    
27. 
    
28. Print["--- end ---"]
    

复制代码

输出:
顶点不重合:
正5边形边长size=100
正方形边长    x=106.0497472914843438 y=65.5423483244744266.
面积比        k=0.653687685565511449
顶点重合:
正5边形边长size=100
正方形边长    x=106.73956817111818693
面积比        k=0.66221941709065945332
--- end ---

dlpg070

利用基于几何图形的通用求最大值公式,解得最大矩形:
与王守恩的结果相同,不知他的计算方法,附加图形演示
最大矩形  1.1755705045848839 X 1.0000000000000064 kmax= 0.68328157299971576143
图形文件:5边形切成矩形_6_0.683282_20201016.png

mathematica

假设五边形的边长是1，那么

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*正五边形的边长是1，正方形的一个顶点与五边形的顶点(x1,y1)重合*)
   
3. {x1,y1}={Cos[90*Degree],Sin[90*Degree]}/(2*Sin[36*Degree])
   
4. {x2,y2}={Cos[18*Degree],Sin[18*Degree]}/(2*Sin[36*Degree])
   
5. {x3,y3}={Cos[-54*Degree],Sin[-54*Degree]}/(2*Sin[36*Degree])
   
6. (*联立方程组求解正方形的一个顶点与面积与边长*)
   
7. ans=Solve[
   
8.     {
   
9.     (*斜率等于-1，夹角45度*)
   
10.     (y1-y)/(x1-x)==-1,
    
11.     (*三个点在一条直线上*)
    
12.     Det[{{x2,y2,1},{x,y,1},{x3,y3,1}}]==0,
    
13.     (*求出正方形面积与边长*)
    
14.     area==((x1-x)^2+(y1-y)^2),
    
15.     a==Sqrt[area]
    
16.     },{x,y,area,a}
    
17. ]//FullSimplify//ToRadicals
    

复制代码

\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-\sqrt{5-2 \sqrt{5}}\right),y\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{5+\frac{2}{\sqrt{5}}}-\sqrt{5}\right),\text{area}\to -\sqrt{5}-\sqrt{5 \left(5-2 \sqrt{5}\right)}+5,a\to \frac{1}{\sqrt{\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+1}}\right\}\right\}\]
数值化
{{x->0.7547627247472144052568534556253287429122629833231586307604154590323857668960609054969184430813210918,
y->0.09588808360482552692468704143768232932813842044165825107632478334549828046789806119740192119719652967,
area->1.139333541335678672811469270193051439784864282781098774190079158906114569558470358972146914386392473,
a->1.067395681711181869259263762671132123550718317081717755877177591632092303675720613914979197555879963}}

mathematica

你的有答案吗？

dlpg070

到目前为止,顶点重合方案正方形最大 k=0.662219
已经有多人得到这个结果
1 dlpg070:4# 解方程精确解
2 倪举鹏 8#第一图
3 dlpg070:10#通用解(数值解),证明k为最大
4 王守恩:11# 公式最简单,精确解
5 mathematica:13# 解方程精确解
疑问:markfang2050: k=0.69630 尚没有人实现,原因?
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比较一组数据,供欣赏,(100位以上)


mathematica:                                                   
正5边形边长 =1
a=1/Sqrt[1-1/Sqrt[5]+Sqrt[1-2/Sqrt[5]]] =1.067395681711181869259263762671132123550718317081717755877177591632092303675720613914979197555879963
k=(4 (5-Sqrt[5]-Sqrt[5 (5-2 Sqrt[5])]))/(5 Sqrt[1+2/Sqrt[5]]) =0.6622194170906594533216867061368321968822822473288305526854574511942222609885329627339015135615710639
--------------
王守恩:
顶点重合:
正5边形边长size=100
正方形边长    a=100 Sqrt[5/8+Sqrt[5]/8] Sec[(3 \[Pi])/20] = 106.73956817111818692592637626711321235507183170817177558771775916320923036757206139149791975558799629320787963
面积比        k=(4 (5/8+Sqrt[5]/8) Sec[(3 \[Pi])/20]^2)/(5 Sqrt[1+2/Sqrt[5]]) = 0.66221941709065945332168670613683219688228224732883055268545745119422226098853296273390151356157106392192449938
--------------

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-10-19 14:37
到目前为止,顶点重合方案正方形最大 k=0.662219
已经有多人得到这个结果
1 dlpg70:4# 解方程精确解

为了便于比较, 化简 4# 公式:
化简前:
k=(1/(5 Sqrt[1+2/Sqrt[5]]))4 ((1/(2 Sqrt[5/8-Sqrt[5]/8])+(10-10 Sqrt[5]-20 Sqrt[2/(5-Sqrt[5])]+10 Sqrt[10/(5-Sqrt[5])]+Sqrt[10 (5+Sqrt[5])])/((-5+Sqrt[5])^2 (-1+Sqrt[10/(5-Sqrt[5])]+Sqrt[(5+Sqrt[5])/(5-Sqrt[5])])))^2+(-Sqrt[(2/(5-Sqrt[5]))]+Sqrt[10/(5-Sqrt[5])]+Sqrt[2 (5+Sqrt[5])]/(5-Sqrt[5])+Sqrt[10 (5+Sqrt[5])]/(5-Sqrt[5])+Sqrt[2/(5-Sqrt[5])] (-4+4 Sqrt[(5+Sqrt[5])/(5-Sqrt[5])]))^2/(-4+4 Sqrt[10/(5-Sqrt[5])]+4 Sqrt[(5+Sqrt[5])/(5-Sqrt[5])])^2)

化简后,取100位数值:
kmax=4 (2-Sqrt[5]+Sqrt[10-22/Sqrt[5]]) = 0.6622194170906594533216867061368321968822822473288305526854574511942222609885329627339015135615710639

倪举鹏

机械软件画图只有顶点重合最大，其他结果要么不是最大，要么是有个点在五边形外面的错误结果

mathematica

如果假设五边形的边长是1，
那么利用正弦定理，三角形的三个内角分别是9°   108°  63°
然后就可以得到四边形的边长是sin[108°]/sin[63°]

dlpg070

楼主的问题是:
一块面积为1的正5边形，现要裁剪为正方形，正方形最大面积为多少？
即求最大正方形的边长 a(不同公式,分别为 ap,aw,am13,am18)
现在可以确认顶点重合正方形最大,且有精确解
有以下多种等价的表达方式,列出4个
dlpg070      4# ap=Sqrt[5-Sqrt[5]-Sqrt[5 (5-2 Sqrt[5])]]   = 1.0673956817111818693
                kp=4 (2-Sqrt[5]+Sqrt[10-22/Sqrt[5]])       = 0.66221941709065945332
王守恩       8# aw=1/2 Sqrt[1/2 (5+Sqrt[5])] Sec[27°]     = 1.0673956817111818693
                kw=(16 Sqrt[5/8-Sqrt[5]/8] (5/8+Sqrt[5]/8) Sec[27°]^2)/(5 (1+Sqrt[5]))
                                                           = 0.66221941709065945332
mathematica 13# am13=Sqrt[5-Sqrt[5]-Sqrt[5 (5-2 Sqrt[5])]] = 1.0673956817111818693
mathematica 18# am18=1/2 Sqrt[1/2 (5+Sqrt[5])] Sec[27°]   = 1.0673956817111818693


a的各个公式应该都正确,但需要证明Sec[27°]的公式成立,才等价
Sec[27°]=  Sqrt[2 (6-2 Sqrt[5]-Sqrt[2 (25-11 Sqrt[5])])]  = 1.1223262376343608072

谁能证明:!!!!!!

不然,mathematica软件,不能确认以下关系:
ap==aw?
ap==am18?
am13==am18?(mathematica的2个结果,都正确,但不能用 == 确认)
仅能确认以下关系:
ap==am13?  True (* 即dlpg070 4#公式和mathematica 13#公式相同*)
aw==am18?  True (* 即王守恩 8#公式和mathematica 18#公式相同*)

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northwolves

我推导了半天得到这个：

$\frac{4sin\frac{pi}{5}(1+cos\frac{pi}{5})}{5cos\frac{pi}{5}(1+sin\frac{pi}{5})}$