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[讨论] 正方形最大面积为多少

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发表于 2020-10-15 23:35:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一块面积为1的正5边形,现要裁剪为正方形,正方形最大面积为多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-16 10:26:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-16 10:29 编辑


\(\text{s= }\frac{1+\sqrt{5}}{10 \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}}}\text{ = }0.550553\)
对吗?
5边形切成4边形_20201016.png

5边型切成正方形

5边型切成正方形

点评

不对,正方形与五边形一个顶点重合时更大。  发表于 2020-10-16 10:54
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发表于 2020-10-16 12:22:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2020-10-16 12:24 编辑
dlpg070 发表于 2020-10-16 10:26
\(\text{s= }\frac{1+\sqrt{5}}{10 \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}}}\text{ = }0.550553\)
对吗? ...


考虑两种情况下,哪个正方形的面积较大。
5565e483fe0ea53e.png

点评

又糊涂了,计算结果2个图形面积比相同,且不如顶点重合的情形,我还没有查到错在哪里  发表于 2020-10-17 16:38
似乎明白了,确实顶点不重合  发表于 2020-10-16 16:59
后一种情况,有个顶点在五边形外面  发表于 2020-10-16 16:13
你的图形表示:正5边型和最大正方形的顶点不重合,是吗?  发表于 2020-10-16 15:39
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发表于 2020-10-16 15:09:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-16 15:23 编辑

这回差不多吧 !\(\text{s= }\frac{4 \left(\frac{\left(5 \sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{5 \left(5-\sqrt{5}\right)}-5 \sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{5 \left(5+\sqrt{5}\right)}\right)^2}{16 \left(-\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{10}+\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)^2}+\left(-\frac{-\sqrt{5-\sqrt{5}}-4 \sqrt{10}+\sqrt{5 \left(5-\sqrt{5}\right)}+\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+\sqrt{5}\right)}}{4 \left(-\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{10}+\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)}-1\right)^2\right)}{5 \sqrt{\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}} \left(1+\sqrt{5}\right)}\text{ = }0.662219\)

图形演示
绿色正方形是蓝色正方形旋转和平移的结果,最后的大正方形没画出来,(太乱),顶点到大红点是打正方形的一条边

5边形切成正方形-顶点对齐

5边形切成正方形-顶点对齐
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 楼主| 发表于 2020-10-16 15:09:50 | 显示全部楼层

咋不能传图了?

点评

你发帖时,把右上角的“纯文本”模式勾选去掉,然后试试。。。  发表于 2020-10-16 15:21
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 楼主| 发表于 2020-10-16 15:10:46 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-10-16 15:09
这回差不多吧 !\(\text{s= }\frac{4 \left(\frac{\left(5 \sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{5 \left(5-\sqrt{5}\rig ...

NO,我算的0.69630

点评

矩形(不是正方形)最大面积/正五边形面积也只能达 0.683281573  发表于 2020-10-18 15:19
我最新计算仍是 0.662219,你的0.683281573计算方法?  发表于 2020-10-18 14:39
不对!矩形最大面积也只能达 0.683281573  发表于 2020-10-18 13:57
我大概明白了,其实顶点不重合,修改一下解方程的条件就可以了,莫急,等你的图片传上来  发表于 2020-10-16 17:34
请帮忙查一下边长表达式错哪里?方法好像是按hujunhua 的提示做的  发表于 2020-10-16 15:29
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发表于 2020-10-16 15:53:50 | 显示全部楼层
能够覆盖边长为1的正方形的最小正五边形边长是多大
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发表于 2020-10-16 16:10:27 | 显示全部楼层
五边形边长100,第一种正方形是106.73956817,第二种正方形是106.04974729
QQ图片20201016160434.png
QQ图片20201016160825.png

点评

真不知 markfang'2050的0.69630 怎么来的,顶点不重合效果并不好,k=0.653687685565511449  发表于 2020-10-19 13:04
记正五边形边长=2,面积比=4sin(36°)sin(72°)^2:5sin(54°)sin(63°)^2=0.662219  发表于 2020-10-17 18:50
倪举鹏的图形和计算结果和我的相同,但不如markfang'2050的0.69630  发表于 2020-10-17 16:44
王守恩的计算都对,问题是这些都不是最大正方形,最大正方形的顶点不是5边形的顶点,markfang2050结果是对的,aimisiyou也是对的  发表于 2020-10-17 08:27
106.04974729=x,NMaximize[x,x/sin(108°)=y/sin(36°)=(100-y)/sin(18°)]  发表于 2020-10-16 19:47
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 楼主| 发表于 2020-10-16 16:12:51 | 显示全部楼层

试过也不行,火狐浏览器。

点评

我用的也是火狐,可以传啊  发表于 2020-10-17 10:13
不能传图就传代码吧,更精彩  发表于 2020-10-17 08:30
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发表于 2020-10-18 14:27:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-18 16:14 编辑

kmax= 0.66221941709051377445 ?
做了多个正方形摆放方案,这里只介绍2个认为较优的方案,我认为最优了,但比markgang2050的k = 0.69630 小 , 原因?
pA:{-1.21949653485587635080367556705*10^-14,0.850650808351847762812417952591}
pB:{0.754762724747053628988521727885,0.0958880836046508133373687651351}
pC:{-1.43346843652455303568397884154*10^-13,-0.658874641142415428379741070071}
pD:{-0.754762724747208427704781044101,0.0958880836047826844724709162672}
a=1.0673956817110644633
比较坐标差通用解和顶点重合解)
da=1.92555923328287405*10^-13,
db=2.37392*10^-13 ,
dc=1.45782*10^-13 ,
dd=4.33117*10^-14
最佳正方形即顶点重合的正方形
最大正方形  amax= 1.0673956817110644633 kmax= 0.66221941709051377445 sollen=2
耗时 20.8811943
5边形切成正方形_5_0.662219_20201016.png

2个正方形重合

2个正方形重合
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