正方形最大面积为多少

markfang2050

后续问题：
2，矩形最大面积为多少？
3，正三角形最大面积为多少？
4，三角形最大面积为多少？

补充内容 (2020-10-28 13:30):
5，四边形最大面积是多少？

northwolves

最大正三角形：$\frac{sqrt3(sin\frac{2pi}{5})^2}{4(sin\frac{4pi}{15})^2}$

northwolves

最大矩形 $\frac{sin\frac{3pi}{5}-sin\frac{pi}{5}}{sin\frac{pi}{10}}=\frac{\sqrt{10-2sqrt5}}{2}=1.1755705045849462583374119...$

northwolves

2 最大矩形 $\frac{sin\frac{3pi}{5}-sin\frac{pi}{5}}{sin\frac{pi}{10}}=\frac{\sqrt{10-2sqrt5}}{2}=1.1755705045849462583374119...$
3 最大正三角形：$\frac{sqrt3(sin\frac{2pi}{5})^2}{4(sin\frac{4pi}{15})^2}=(25sqrt3+9sqrt{15}-3sqrt(250+110sqrt5))/16=0.7091961525245...$
4 最大三角形： $\frac{5}{4}tan\frac{3pi}{10}-sin\frac{3pi}{5}=\frac{\sqrt{5+2sqrt5}}{4}=0.76942088429381335...$
5 最大四边形： $\frac{5}{4}tan\frac{3pi}{10}-\frac{1}{2}sin\frac{3pi}{5}=\frac{\sqrt{50+22sqrt5}}{8}=1.24494914244139013670...$

northwolves

2 最大矩形 $\frac{8}{5}sin\frac{pi}{5}tan\frac{pi}{5}=\frac{6}{5}\sqrt5-2=0.6832815729997477...$

3 最大正三角形：$\frac{sqrt3(sin\frac{2pi}{5})^2tan\frac{pi}{5}}{5(sin\frac{4pi}{15})^2}=\frac{sqrt(30(65+19sqrt5))-15(1+sqrt5)}{20}=0.412208932405470...$

4 最大三角形：  $1-\frac{2}{5}sin\frac{3pi}{5}tan\frac{pi}{5}=\frac{5+sqrt5}{10}=0.72360679774997896964..$

5 最大四边形：$1-\frac{1}{5}sin\frac{3pi}{5}tan\frac{pi}{5}=\frac{15+sqrt5}{20}=0.86180339887498948482..$