求速度参数方程
质点沿直线运动,若速度与时间线性,为匀加速运动;
若速度与位移线性,为 什么运动?
一个质点在一条长度为 \(L\) 的线段上运动,起止端点处速度分别为 \(v_0, v_1\),
要求期间的速度与位置成线性变化,即 \(v_t=v_0+(v_1-v_0)*s_t/L\),其中,\(v_t, s_t\) 为在 \(t\) 时刻的即时速度及已运动的距离。
比如,在中点处,速度须为 \((v_0 + v_1)/2\),
请问以时间 \(t\) 为参数的速度 \(v_t\) 表达式是怎样的? \(\frac{ds}{dt}=ks\) 可以得到\(s=C e^{kt}\) 神速!:b:
我刚才查了下电子版的数学手册,是个简单的微分方程。
\(\D v=\frac{\dif s}{\dif t}=k s \qquad\implies\qquad \frac{\dif s}{s}=\dif({\ln s})=k\dif t\)
两边同时积分,可得:\(\ln s = k t + \ln C \qquad\implies\qquad s=C e^{k t}\) 发现一个问题:上述结果,由起点处的位移为 \(0\),得到待定常量 \(\color{red}{C=0}\),显然有问题。
我估计是微分方程需要修正,
应该是:\(\D v=\frac{\dif s}{\dif t}=k s \color{red}{+ b} \quad\implies\quad \frac{\dif s}{s+\frac{b}{k}}=\dif\left({\ln\left(s+\frac{b}{k}\right)}\right)=\dif(k t) \quad\implies\quad s_t=C e^{k t}-\frac{b}{k} \quad\implies\quad v_t=C k e^{k t}\)
在起点处 \(t=0\),\(\begin{cases}s_0=C-\frac{b}{k}=0\\v_0=C k\end{cases}\quad\implies\quad\begin{cases}b=C k\\C=\frac{v_0}{k}=\frac{v_0}{v_1-v_0}L\end{cases}\)
\(\therefore\begin{cases}s_t=\frac{v_0}{v_1-v_0}L*\left(exp\left({\frac{v_1-v_0}{L} t}\right)-1\right)\\v_t=v_0 exp\left({\frac{v_1-v_0}{L} t}\right)\end{cases}\)
以上推导过程,是基于 \(k \neq 0\) 的,但结论中 \(v_t\) 公式也适用于 \(k = 0\) 这种特殊情形。 gxqcn 发表于 2020-11-5 17:23
发现一个问题:上述结果,由起点处的位移为 \(0\),得到待定常量 \(\color{red}{C=0}\),显然有问题。
我 ...
$\frac{ds}{dt} = k s +b$得到:$k t +C_1= ln(ks+b)$ 也就是 $ks +b = Ce^{kt}$ 要求期间的速度与位置成线性变化,即 \(v_t=v_0+(v_1-v_0)*s_t/L\),其中,\(v_t, s_t\) 为在 \(t\) 时刻的即时速度及已运动的距离。
这里的$s$是位移, 就是当前位置相对于 原点(最初位置)的 偏移. 还不是 运动的距离. 可能要区分开.
然后运动的距离,就是速度函数在 时间轴上的分段路径的 累加 积分.
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