求速度参数方程

gxqcn

质点沿直线运动，
若速度与时间线性，为匀加速运动；
若速度与位移线性，为   什么运动？

一个质点在一条长度为 \(L\) 的线段上运动，起止端点处速度分别为 \(v_0, v_1\)，
要求期间的速度与位置成线性变化，即 \(v_t=v_0+(v_1-v_0)*s_t/L\)，其中，\(v_t, s_t\) 为在 \(t\) 时刻的即时速度及已运动的距离。
比如，在中点处，速度须为 \((v_0 + v_1)/2\)，
请问以时间 \(t\) 为参数的速度 \(v_t\) 表达式是怎样的？

mathe

\(\frac{ds}{dt}=ks\) 可以得到\(s=C e^{kt}\)

gxqcn

神速！

我刚才查了下电子版的数学手册，是个简单的微分方程。

\(\D v=\frac{\dif s}{\dif t}=k s \qquad\implies\qquad \frac{\dif s}{s}=\dif({\ln s})=k\dif t\)
两边同时积分，可得：\(\ln s = k t + \ln C \qquad\implies\qquad s=C e^{k t}\)

gxqcn

发现一个问题：上述结果，由起点处的位移为 \(0\)，得到待定常量 \(\color{red}{C=0}\)，显然有问题。
我估计是微分方程需要修正，
应该是：\(\D v=\frac{\dif s}{\dif t}=k s \color{red}{+ b} \quad\implies\quad \frac{\dif s}{s+\frac{b}{k}}=\dif\left({\ln\left(s+\frac{b}{k}\right)}\right)=\dif(k t) \quad\implies\quad s_t=C e^{k t}-\frac{b}{k} \quad\implies\quad v_t=C k e^{k t}\)
在起点处 \(t=0\)，\(\begin{cases}s_0=C-\frac{b}{k}=0\\v_0=C k\end{cases}\quad\implies\quad\begin{cases}b=C k\\C=\frac{v_0}{k}=\frac{v_0}{v_1-v_0}L\end{cases}\)
\(\therefore\begin{cases}s_t=\frac{v_0}{v_1-v_0}L*\left(exp\left({\frac{v_1-v_0}{L} t}\right)-1\right)\\v_t=v_0 exp\left({\frac{v_1-v_0}{L} t}\right)\end{cases}\)

以上推导过程，是基于 \(k \neq 0\) 的，但结论中 \(v_t\) 公式也适用于 \(k = 0\) 这种特殊情形。

wayne

gxqcn 发表于 2020-11-5 17:23
发现一个问题：上述结果，由起点处的位移为 \(0\)，得到待定常量 \(\color{red}{C=0}\)，显然有问题。
我 ...

$\frac{ds}{dt} = k s +b$  得到:  $k t +C_1= ln(ks+b)$   也就是 $ks +b = Ce^{kt}$

wayne

要求期间的速度与位置成线性变化，即 \(v_t=v_0+(v_1-v_0)*s_t/L\)，其中，\(v_t, s_t\) 为在 \(t\) 时刻的即时速度及已运动的距离。

这里的$s$是位移, 就是当前位置相对于 原点(最初位置)的 偏移. 还不是 运动的距离. 可能要区分开.
然后运动的距离,就是速度函数在 时间轴上的分段路径的 累加 积分.