有没有办法直接对反正切函数arctanx泰勒展开？
泰勒展开的结果是\,
这个结果是先求一阶导数，得到1/(1+x^2)，然后级数展开，然后对级数积分，再去掉常数项，然后得到arctanx的泰勒展开。
这个属于间接法，有没有直接的办法呢？
你这问题问得蹊跷。
直接法就是老老实实地用泰勒公式一项项地计算啊，这是一般方法，还用问吗？
倒是你上面所说的间接方法属于取巧之道，可有一问。 直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{(n+1)}(x)=0$,
代入$x=0$,得到 $f^{(n+1)}(0)=-n(n-1)f^{(n-2)}(0)$. 考虑到$ f^{(1)}(0)=1, f^{(2)}(0)=0$，递推得 $f^{(2m+1)}(0)=(-1)^m (2m)!, f^{(2m)}(0)=0$ wayne 发表于 2020-12-9 11:18
直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{ ...
你的递推关系怎么得到的？ wayne 发表于 2020-12-9 11:18
直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{ ...
你的答案差不多就是我想要的答案，我就是好奇递推公式是怎么得到的？ mathematica 发表于 2020-12-9 13:23
你的答案差不多就是我想要的答案，我就是好奇递推公式是怎么得到的？
直接导啊，不然怎么叫做直接法 wayne 发表于 2020-12-9 16:28
直接导啊，不然怎么叫做直接法
具体操作步骤是？ 求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$
再求导，$y^{(4)}(1+x^2)+6xy'''+6y'=0$
再求导，$y^{(5)}(1+x^2)+8xy^{(4)}+12y^{(3)}=0$
...
再求导，$y^{(n)}(1+x^2)+2nxy^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0$
实际情况下，用Mathematica软件就行。 wayne 发表于 2020-12-9 19:32
求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$
你这个差不多就是我想要的答案。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=17604&fromuid=865
如何利用拉格朗日余项计算反正切级数的截断误差
这个问题估计难些 本帖最后由 mathematica 于 2020-12-10 14:50 编辑
wayne 发表于 2020-12-9 19:32
求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$
\[-\frac{288 x^2}{\left(x^2+1\right)^4}+\frac{24}{\left(x^2+1\right)^3}+\frac{384 x^4}{\left(x^2+1\right)^5}\]，这个是反正切函数的五阶导数，
前后两项的分子都中的x次方，都是大于1的，所以求下一个导数的时候，可以舍弃，只用中间项求导，
对结果有影响的，就是x的一次项与常数项，保留这两个就可以了。
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