有没有办法直接对反正切函数arctanx泰勒展开？

mathematica

泰勒展开的结果是
\[x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\frac{x^{13}}{13}-\frac{x^{15}}{15}+\frac{x^{17}}{17}-\frac{x^{19}}{19}+O\left(x^{20}\right)\],
这个结果是先求一阶导数，得到1/(1+x^2)，然后级数展开，然后对级数积分，再去掉常数项，然后得到arctanx的泰勒展开。
这个属于间接法，有没有直接的办法呢？

hujunhua

你这问题问得蹊跷。

直接法就是老老实实地用泰勒公式一项项地计算啊，这是一般方法，还用问吗？

倒是你上面所说的间接方法属于取巧之道，可有一问。

wayne

直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{(n+1)}(x)=0$,
代入$x=0$,得到 $f^{(n+1)}(0)=-n(n-1)f^{(n-2)}(0)$.   考虑到$ f^{(1)}(0)=1, f^{(2)}(0)=0$，递推得 $f^{(2m+1)}(0)=(-1)^m (2m)!,   f^{(2m)}(0)=0$

mathematica

wayne 发表于 2020-12-9 11:18
直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{ ...

你的递推关系怎么得到的？

mathematica

wayne 发表于 2020-12-9 11:18
直接法是 直接求n阶导数吗。如果是这么理解的话倒是可以的。$n(n-1)f^{(n-1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+(1+x^2)f^{ ...

你的答案差不多就是我想要的答案，我就是好奇递推公式是怎么得到的？

wayne

mathematica 发表于 2020-12-9 13:23
你的答案差不多就是我想要的答案，我就是好奇递推公式是怎么得到的？

直接导啊，不然怎么叫做直接法

mathematica

wayne 发表于 2020-12-9 16:28
直接导啊，不然怎么叫做直接法

具体操作步骤是？

wayne

求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$
再求导，$y^{(4)}(1+x^2)+6xy'''+6y'=0$
再求导，$y^{(5)}(1+x^2)+8xy^{(4)}+12y^{(3)}=0$
...
再求导，$y^{(n)}(1+x^2)+2nxy^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0$

实际情况下，用Mathematica软件就行。

mathematica

wayne 发表于 2020-12-9 19:32
求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$

你这个差不多就是我想要的答案。


https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 604&fromuid=865
如何利用拉格朗日余项计算反正切级数的截断误差

这个问题估计难些

mathematica

wayne 发表于 2020-12-9 19:32
求导，$y'(1+x^2)=1$
再求导，$y''(1+x^2)+2xy'=0$
再求导，$y'''(1+x^2)+4xy''+2y'=0$

\[-\frac{288 x^2}{\left(x^2+1\right)^4}+\frac{24}{\left(x^2+1\right)^3}+\frac{384 x^4}{\left(x^2+1\right)^5}\]，这个是反正切函数的五阶导数，
前后两项的分子都中的x次方，都是大于1的，所以求下一个导数的时候，可以舍弃，只用中间项求导，
对结果有影响的，就是x的一次项与常数项，保留这两个就可以了。