一道初中竞赛题求三角形面积
一道初中竞赛题求三角形面积 本帖最后由 mathematica 于 2021-1-14 10:00 编辑Clear["Global`*"];
AB=10;
BD=4;
(*∠BAC=x,∠ABE=y,不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解*)
ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[{
AB/Sin==BC/Sin,(*ABC正弦定理*)
BD/Sin==BC/Sin,(*BCD正弦定理*)
2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
},{x,y,BC}]
(*勾股定理得出△ABC的高,再乘以BC,再除以2,得到面积*)
area=1/2*Sqrt*BC/.ans//FullSimplify
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\right),y\to \frac{1}{6} (\pi -3 x),\text{BC}\to 10 \sqrt{2-\frac{8}{\sqrt{19}}}\right\}\]
顶角x=$\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
面积
\ 本帖最后由 mathematica 于 2021-1-14 10:13 编辑
mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...
@chyanog
不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解 ∠BAC=x,∠ABE=y,再利用三角形ABC内角和等于180
则∠ABE=x+2*y=60,EF垂直AB与F,
则可以计算出BF的长度=>AF的长度\FE的长度=>∠A的正切=>∠A的正弦=>1/2*AB*BC*Sin mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...
数学上稍微变通一下,这下软件就能求解了!
Clear["Global`*"];
AB=AC=10;
BD=4;
(*∠BAC=x,∠ABE=y*)
ans=FullSimplify@Solve[{
AB*Sin==BD*Sin,(*利用正弦定理,两者都等BC*Sin,这样就可以忽略变量BC*)
2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
},{x,y}]
(*进一步化简x y的值*)
aa=ArcTan//FullSimplify]
(*求解面积*)
area=FullSimplify/.ans]
两个角度等于
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{9} \left(7 \sqrt{3}-2 \sqrt{57}\right)\right)\right),y\to \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right)\right\}\right\}\]
进一步化简后的角度
\[\left(
\begin{array}{cc}
\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) & \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right) \\
\end{array}
\right)\]
面积
\[\left\{50 \sqrt{\frac{3}{19}}\right\}\]
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