数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 132|回复: 8

[提问] 一道初中竞赛题求三角形面积

[复制链接]
发表于 2021-1-14 09:56:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
一道初中竞赛题求三角形面积
QQ截图20210114095611.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-14 09:58:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2021-1-14 10:00 编辑
  1. Clear["Global`*"];
  2. AB=10;
  3. BD=4;
  4. (*∠BAC=x,∠ABE=y,不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解*)
  5. ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[{
  6.     AB/Sin[x+3*y]==BC/Sin[x],(*ABC正弦定理*)
  7.     BD/Sin[x+3*y]==BC/Sin[x+4*y],(*BCD正弦定理*)
  8.     2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
  9.     0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
  10. },{x,y,BC}]
  11. (*勾股定理得出△ABC的高,再乘以BC,再除以2,得到面积*)
  12. area=1/2*Sqrt[10^2-(BC/2)^2]*BC/.ans//FullSimplify
复制代码


求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\right),y\to \frac{1}{6} (\pi -3 x),\text{BC}\to 10 \sqrt{2-\frac{8}{\sqrt{19}}}\right\}\]

顶角x=$\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
面积
\[50 \sqrt{\frac{3}{19}}\]

点评

我测试了一下,这个问题,完全可以手工算出来,电脑程序太笨了,不懂得化简  发表于 2021-1-14 13:04
软件求解出来的不是最精简的结果!还需要“人工智能”的干预!  发表于 2021-1-14 10:09
不得不惊叹于方程思想与mathematica软件的强大!  发表于 2021-1-14 10:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-14 10:00:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2021-1-14 10:13 编辑
mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...


@chyanog

不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-14 10:33:10 | 显示全部楼层
∠BAC=x,∠ABE=y,再利用三角形ABC内角和等于180
则∠ABE=x+2*y=60,EF垂直AB与F,
则可以计算出BF的长度=>AF的长度\FE的长度=>∠A的正切=>∠A的正弦=>1/2*AB*BC*Sin[A]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-14 12:53:36 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...

数学上稍微变通一下,这下软件就能求解了!
  1. Clear["Global`*"];
  2. AB=AC=10;
  3. BD=4;
  4. (*∠BAC=x,∠ABE=y*)
  5. ans=FullSimplify@Solve[{
  6.     AB*Sin[x]==BD*Sin[x+4*y],(*利用正弦定理,两者都等BC*Sin[x+4*y],这样就可以忽略变量BC*)
  7.     2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
  8.     0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
  9. },{x,y}]
  10. (*进一步化简x y的值*)
  11. aa=ArcTan[Tan[{x,y}/.ans]//FullSimplify]
  12. (*求解面积*)
  13. area=FullSimplify[1/2*AB*AC*Sin[x]/.ans]
复制代码

两个角度等于
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{9} \left(7 \sqrt{3}-2 \sqrt{57}\right)\right)\right),y\to \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right)\right\}\right\}\]
进一步化简后的角度
\[\left(
\begin{array}{cc}
\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) & \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right) \\
\end{array}
\right)\]

面积
\[\left\{50 \sqrt{\frac{3}{19}}\right\}\]

点评

解题思路都写在注释里面,清晰易懂!  发表于 2021-1-14 12:56
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-1-26 00:29 , Processed in 0.067365 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表