分数化小数，小数部分出现2021，求分母最小值
一个最简分数$\frac{n}{m}$化为小数后发现，小数部分出现2021，则这个分数的分母$m$最小是多少？ 穷举法！ 19/94≈0.20212765957446808510638297872340425531914893617021 \(\frac{n}{m}=\frac{19}{94}\)\(0.2021...=\frac{1}{5-}=\frac{2}{10-}=\frac{3}{15-}=\frac{4}{20-}\)
\(0.2021=\frac{n}{5n-1}\)
\(n=\frac{0.2021}{5*0.2021-1}=19\) 19/94
0.2021499999 转换连分数得0,4,1,17,1,4,8……挑达到要求的逼近分数。
本帖最后由 uk702 于 2021-2-22 15:21 编辑
将 0.2021 转换成连分数为 =，0.2022 转换成连分数为 =，所以 0.2021... =，其中 0.333 <x<=1.25，因此，要使得分数 p/q 的分母最小，x 应当取 1，也就是 p/q ==19/94=0.202128。 mathematica 发表于 2021-2-22 12:57
穷举法！
别问我是怎么来的(我也不知道)！
Solve[{0 < n/m - 2021/9999 < 1/9999, 0 < n < m < 150}, {n, m}, Integers] 2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答案是多少 wayne 发表于 2021-2-22 15:45
2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答 ...
\(n>\frac{0.101}{10*0.101-1}>10.1=11\ \ \ \ \ \ \frac{11}{109}=0.100917431\)
\(n>\frac{0.1001}{10*0.1001-1}>100.1=101\ \ \ \ \ \frac{101}{1009}=0.100099108\)
\(n>\frac{0.10001}{10*0.10001-1}>1000.1=1001\ \ \ \ \frac{1001}{10009}=0.100009991\) 本帖最后由 王守恩 于 2021-2-23 19:21 编辑
wayne 发表于 2021-2-22 15:45
2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答 ...
(1)，2021太简单了， 把 2021 改成 202122232425262728，看看答案是多少
(2)，2021太简单了， 把 2021 改成 20212223242526.......，可能会更好一些
(3)，因为答案都是\(\frac{1981}{9801}\)