分数化小数，小数部分出现2021，求分母最小值

rayfekeeper

一个最简分数$\frac{n}{m}$化为小数后发现，小数部分出现2021，则这个分数的分母$m$最小是多少？

mathematica

穷举法！

chyanog

19/94≈0.20212765957446808510638297872340425531914893617021

王守恩

\(\frac{n}{m}=\frac{19}{94}\)
\(0.2021...=\frac{1}{5-}=\frac{2}{10-}=\frac{3}{15-}=\frac{4}{20-}\)
\(0.2021=\frac{n}{5n-1}\)
\(n=\frac{0.2021}{5*0.2021-1}=19\)

zeroieme

19/94

0.2021499999 转换连分数得  0,4,1,17,1,4,8……挑达到要求的逼近分数。

uk702

将 0.2021 转换成连分数为 [0, 4, 1, 18, 4, 26]=[0, 4, 1, 18+1/(4+1/(26+...))]，0.2022 转换成连分数为 [0, 4, 1, 17, 2, 1, ...]=[0, 4, 1, 17+1/(2+1/(1+...))]，所以 0.2021... =  [0, 4, 1, 17+x]，其中 0.333 <x<=1.25，因此，要使得分数 p/q 的分母最小，x 应当取 1，也就是 p/q =  [0, 4, 1, 18]=19/94=0.202128。

王守恩

mathematica 发表于 2021-2-22 12:57
穷举法！

别问我是怎么来的(我也不知道)！
Solve[{0 < n/m - 2021/9999 < 1/9999, 0 < n < m < 150}, {n, m}, Integers]

wayne

2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答案是多少

王守恩

wayne 发表于 2021-2-22 15:45
2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答 ...

\(n>\frac{0.101}{10*0.101-1}>10.1=11\ \ \ \ \ \ \frac{11}{109}=0.100917431\)

\(n>\frac{0.1001}{10*0.1001-1}>100.1=101\ \ \ \ \ \frac{101}{1009}=0.100099108\)

\(n>\frac{0.10001}{10*0.10001-1}>1000.1=1001\ \ \ \ \frac{1001}{10009}=0.100009991\)

王守恩

wayne 发表于 2021-2-22 15:45
2021太简单了，不能突出问题的本质， 我来加点难度， 把2021 改成 1000，10000，各位看管在做一遍，看看答 ...

(1)，2021太简单了， 把 2021 改成 202122232425262728，看看答案是多少
(2)，2021太简单了， 把 2021 改成 20212223242526.......，可能会更好一些
(3)，因为答案都是\(\frac{1981}{9801}\)