化简数学公式
设复数 $w=u+Ivd=a+Ibz=x+I y$假设我们得到 复 pell 方程$w^2-dz^2=m+n I$
再对该方程取共轭，$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$
然后对两恒等式相乘，可以得到怎样的结论
两个互为共轭复数的乘积等于这个复数模的平方 本帖最后由 wsc810 于 2021-3-5 21:01 编辑
$w^2-dz^2=m+nI$
$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$
$w^2*\bar{w}^2+d*\bar{d}z^2*\bar{z}^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=(m+nI)(m-nI)$
$|w|^2+|d||z|^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=m^2+n^2$
$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{\w^2\bar{d}\bar{z}^2}=m^2+n^2$
$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2Re=m^2+n^2$
$Re=(u+Iv)^2(a-Ib)(x-Iy)^2=(u^2-v^2+I2uv)(x^2-y^2-I2xy)(a-Ib)=((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-I(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))(a-Ib)$
$=a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$
继续化简
$a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$
$=a((u^2x^2+v^2y^2-u^2y^2-v^2x^2+4uvxy)-2b(uvx^2+xyu^2-uvy^2-xyv^2)$
$=a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-2b((vx+uy)(ux-vy))$
$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=2Re+m^2+n^2$
$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-4b((vx+uy)(ux-vy))$
不知以上公式推导有错误吗
$(-2996+160785 i)^2-997331 (3+4 i) (31+65 i)^2=663-1974 i$
u = -2996; v = 160785; x = 31; y = 65; a = -997331*3; b = -997331*4; \
m = 663; n = -1974;
(u^2 + v^2)^2 + (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)^2=1337561181128345210981
m^2 + n^2 + (2*a ((u x + v y)^2 - (u y - v x)^2) -
4*b (v x + u y) (u x - v y))=-1287381628414959442811
用实例计算，结果并不正确，问题出在哪里 没人看看公式推导哪里出了问题 有人看吗 Try:
$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)+4b((vx+uy)(ux-vy))$ 本帖最后由 northwolves 于 2021-3-20 11:28 编辑
最后一项的两个多项式之间的符号颠倒一下就对了
$m^2+n^2=(u^2-v^2-a(x^2-y^2)+2bxy)^2+(2uv-b(x^2-y^2)-2axy)^2$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2+2(u^2-v^2)(2bxy-a(x^2-y^2))-4uv(2axy+b(x^2-y^2)$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2a((ux+vy)^2-(vx-uy)^2)+4b(ux+vy)(vx-uy)$ 验证通过：
1.33756118112835E+21
1.33756118112835E+21 本帖最后由 wsc810 于 2021-4-20 11:27 编辑
northwolves 发表于 2021-3-20 11:24
最后一项的两个多项式之间的符号颠倒一下就对了
$m^2+n^2=(u^2-v^2-a(x^2-y^2)+2bxy)^2+(2uv-b(x^2-y^2)-2 ...
第一行这个恒等式你是怎么得到的,能否写出具体推导过程
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