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[分享] 化简数学公式

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发表于 2021-3-1 22:54:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
设复数 $w=u+Iv  d=a+Ib  z=x+I y$

假设我们得到 复 pell 方程  $w^2-dz^2=m+n I$

再对该方程取共轭,$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$

然后对两恒等式相乘,可以得到怎样的结论

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-3-2 15:41:16 | 显示全部楼层
两个互为共轭复数的乘积等于这个复数模的平方
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-3-5 19:51:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2021-3-5 21:01 编辑

$w^2-dz^2=m+nI$

$\bar{w}^2-\bar{d}\bar{z}^2=m-nI$

$w^2*\bar{w}^2+d*\bar{d}z^2*\bar{z}^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=(m+nI)(m-nI)$

$|w|^2+|d||z|^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{w}^2dz^2=m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-w^2\bar{d}\bar{z}^2-\bar{\w^2\bar{d}\bar{z}^2}=m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]=m^2+n^2$

$Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]=(u+Iv)^2(a-Ib)(x-Iy)^2=(u^2-v^2+I2uv)(x^2-y^2-I2xy)(a-Ib)=((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-I(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))(a-Ib)$
  
$=a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$


继续化简

  $a((u^2-v^2)(x^2-y^2)+4uvxy)-b(2uv(x^2-y^2)+2xy(u^2-v^2))$

$=a((u^2x^2+v^2y^2-u^2y^2-v^2x^2+4uvxy)-2b(uvx^2+xyu^2-uvy^2-xyv^2)$

$=a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-2b((vx+uy)(ux-vy))$


$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=2Re[w^2\bar{d}\bar{z}^2]+m^2+n^2$

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)-4b((vx+uy)(ux-vy))$

不知以上公式推导有错误吗
  

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2021-3-6 19:39:34 | 显示全部楼层
$(-2996+160785 i)^2-997331 (3+4 i) (31+65 i)^2=663-1974 i$

  1. u = -2996; v = 160785; x = 31; y = 65; a = -997331*3; b = -997331*4; \
  2. m = 663; n = -1974;
  3. (u^2 + v^2)^2 + (a^2 + b^2) (x^2 + y^2)^2=1337561181128345210981
复制代码


  1. m^2 + n^2 + (2*a ((u x + v y)^2 - (u y - v x)^2) -
  2.    4*b (v x + u y) (u x - v y))=-1287381628414959442811
复制代码


用实例计算,结果并不正确,问题出在哪里
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 楼主| 发表于 2021-3-13 19:04:14 | 显示全部楼层
没人看看公式推导哪里出了问题
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 楼主| 发表于 2021-3-19 17:25:32 | 显示全部楼层
有人看吗
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发表于 2021-3-20 10:58:28 | 显示全部楼层
Try:

$(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2=m^2+n^2+2a((ux+vy)^2-(uy-vx)^2)+4b((vx+uy)(ux-vy))$
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发表于 2021-3-20 11:24:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2021-3-20 11:28 编辑

最后一项的两个多项式之间的符号颠倒一下就对了
$m^2+n^2=(u^2-v^2-a(x^2-y^2)+2bxy)^2+(2uv-b(x^2-y^2)-2axy)^2$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2+2(u^2-v^2)(2bxy-a(x^2-y^2))-4uv(2axy+b(x^2-y^2)$
$=(u^2+v^2)^2+(a^2+b^2)(x^2+y^2)^2-2a((ux+vy)^2-(vx-uy)^2)+4b(ux+vy)(vx-uy)$
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发表于 2021-3-20 11:26:52 | 显示全部楼层
验证通过:

1.33756118112835E+21
1.33756118112835E+21
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