creasson 发表于 2021-3-11 15:06:54

二次曲面的有理参数表示

本帖最后由 creasson 于 2021-3-11 15:10 编辑

终于得到了任意二次曲面的有理参数表示。

例如单位球 $x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
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椭圆抛物面 $z = x^2 + y^2 $
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单叶双曲面 $x^2 + y^2 - z^2 = 1 $

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给定单叶双曲面上的三个点: $ A\left( 1,0,0 \right),B\left( 0,1,0 \right),C\left( \frac{5}{3},0,\frac{4}{3} \right) $
可以给出这个三角形曲面片的表示:
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参数 $0 \le u \le 1$,$ \frac{1}{2}(3 - 4u) - \frac{\sqrt {27 - 40u + 16u^2} }{2\sqrt 3 } \le v \le 0 $



控制点取的$(-1,0,0)$, 即曲面与 $DAB$, $DAC$, $DBC$ 的平面所截部分。

Show,ParametricPlot3D[{-((-16+16 u^2-16 v+32 u v+11 v^2)/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2)),(16 (2+v) (u+v))/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2),-((4 v (2+v))/(16+16 u^2+16 v+32 u v+19 v^2))},{u,0,1},{v,1/2 (3-4 u)-Sqrt/(2 Sqrt),0},PlotStyle->{Green}],AspectRatio->1]


mathematica 发表于 2021-3-11 16:03:28

问题是你怎么得到的?

ShuXueZhenMiHu 发表于 2021-3-15 01:37:34

请问为什么需要α,β 和 γ,不是已经有u, v, w 了吗?

葡萄糖 发表于 2021-3-15 10:19:07

我也相当好奇这个参数怎么来的?另外,希腊字母所代表的参数有什么作用?:D

wayne 发表于 2021-3-15 14:52:10

随便一个多项式曲面,换成球坐标系表达,然后把三角函数 都换成 多形式方程,于是 就成了多项式方程组, 接下来的工作就是消元了。
消元的时候 是可以选择合适的GroebnerBasis ,产生新的参数,简化表达式,所以表达形式可以有上千种。
所以,关键的地方 我们如何选择合适的参数,使得参数的几何意义非常显著,做到了这点 那就功德无量了

mathematica 发表于 2021-3-15 15:42:43

公式太丑了,没有对称性!

creasson 发表于 2021-3-15 16:37:19

本帖最后由 creasson 于 2021-3-15 16:39 编辑

这是计算机辅助几何设计(CAGD)中二次曲面的一个经典问题:一个物体的表面,可通过三角形剖分进行建模,对于剖分的小三角形,希望寻找一个光滑的低次曲面来近似原表面,并要求曲面在截面的边界有一阶连续(法向量方向一致).
如果曲面有参数表示,那么绘图会方便些,这是为什么寻求简单参数表示的原因。
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